Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.

1. Cho dãy số xác định bởi : . Chứng minh rằng với mọi số thực thì dãy hội tụ. Tùy theo , hãy tìm giới hạn của dãy .

Hướng dẫn giải

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM).

Nếu thì (do bất đẳng thức AM-GM) nên .

Nếu thì . Ta chứng minh: .

Hiển nhiên .

Giả sử .

Vậy .

. Nếu thì . Ta chứng minh .

Rõ ràng..

Giả sử . Ta chứng minh .

( đúng).

Ta chứng minh là dãy giảm, thật vậy :.

.

( do tử âm, mẫu dương vì.

.

Mà ).

giảm và bị chặn dưới ⇒ có giới hạn là.

.

Vậy .

. Nếu thì . Tương tự, ta có:.

.

nên tăng. Hơn nữa bị chặn trên bởi, thật vậy.

.

Vậy tăng và bị chặn trên ⇒ có giới hạn là.

.

Vậy .

Tóm lại: + Nếu thì .

+ Nếu thì .

+ Nếu thì .

1. Cho dãy số được xác định bởi . Tìm giới hạn của dãy khi với là số thực cho trước.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh được bằng qui nạp.

Ta có.

.

Bởi vậy thì .

.

Với, đặt trong đó .

, với (1), suy ra.

. khi .

Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy với .

ta có 2 suy ra .

Mà suy ra.

Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro).

Xét dãy với .

nên tồn tại sao cho .

Gọi với .

Với ở trên tồn tại thì hay .

Xét . ta có.

o đó theo định nghĩa .

. suy ra.

Nếu thì .

Nếu thì .

Nếu thì khi .

1. Cho hai số với .Lập hai dãy số , với .Theo quy tắc sau: giải nghĩa cái đó là:.,. Tính:và .

Hướng dẫn giải

Tính với ta có thể chọn sao cho: ,.

Suy ra .

.

.

Bằng quy nạp, chứng minh được:.

.

Nhân hai vế của (1) và (2) cho và áp dụng công thức được:.

.

Tính giới hạn:.

.

1. Cho dãy số và.Chứng minh:.

Hướng dẫn giải

.

Vậy .

.

Suyra:.

Suyra:.

Vậy:.

Suyra:.

Dođó:.

1. Cho hai số với , . Lập hai dãy số với theo quy tắc sau:.,. Tính:và.

Hướng dẫn giải

+Tính :.

.

.

+ Bằng quy nạp, chứng minh được:.

.

+Nhân hai vế của (1) và (2) chovà áp dụng công thức được:.

.

+Tính giới hạn:.

.

1. Cho dãy số biết:.

.

Hãy tính.

Hướng dẫn giải

Ta có:,.

.

là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi .

.

Từ cho ta được:.

Vậy.

Đặt .

Ta có Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:.

.

.

Mà;.

.

1. Cho dãyxác định bởi:.

Ta lập dãyvới.Tính.

Hướng dẫn giải

Tacó.

Giả sử .

Tacó.

.

Hay.

Do nên.

.

.

Ta lại có.

.

.

.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1. Cho dãy sốxác định bởi

a) Chứng minh:.

.

b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của.

HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Chứng minh bằng quy nạp toán học.

b) Nhận xét và hàm số đồng biến trên.

nên dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số .

và bị chặn trên bởi số .

1. Cho dãy sốxác định bởi:.

.

1.Với mỗi ,đặt.Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

2.Tìm các số để dãy có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác .

HƯỚNG DẪN GIẢI

1.Từ giả thiết suy ra .

Suy ra do đó .

Xét.

.

Suy ra.

Ta có .

Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có.

.

Do đó .

2.Xét .

Từ đó:.

+) Nếu thì .

+)Nếu thì .

+) Nếu thì .

Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.

1. Cho dãy số thỏa mãn .

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn bằng khi .

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có , do đó dãy số là dãy tăng, vì.

vậy .

,.

. Mà nên theo định lý kẹp ta có.

.

1. Tìm tất cả các hằng số sao cho mọi dãy số dãy số thỏa mãn: .

đều hội tụ. Với giá trị tìm được hãy tính giới hạn của dãy .

Hướng dẫn giải

Ta xét các trường hợp sau.

+ Nếu , thì từ giả thiết, ta có .

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra . Do nên khi . Do đó, không thỏa mãn.

+ Nếu , thì tồn tại sao cho . Thật vây, lấy đặt , thì.

.

Chú ý là Do đó, ta chỉ cần chọn như trên và thì được 2 bất đẳng thức nêu trên.

Xét dãy số xác định bởi.

.

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, cũng không thỏa mãn.

+ Nếu , thì . Suy ra dãy tăng và bị chặn. Do đó, hội tụ.

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy .

1. Cho dãy số (x_n) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn.

Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh với mọi (1).

Thật vậy: đúng.

Giả sử (1) đúng với .

.

.

(đpcm).

*) Ta chứng minh có giới hạn.

NX: tăng và với mọi .

Ta có với mọi 1.

Vậy có giới hạn.

1. Cho dãy số xác định bởi . Đặt . Tính lim.

Hướng dẫn giải

+ Ta có (1).

Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được .

+ Từ (1) suy ra .

Do đó .

+ Ta chứng minh .

Thật vậy, ta có .

Suy ra là dãy tăng, ta có .

Giả sử bị chặn trên và thì . Khi đó .

( vô lí). Suy ra không bị chặn trên, do đó .

Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi: . Tìm .

Hướng dẫn giải

- Vì nên đặt .

Ta có .

Bằng quy nạp, ta chứng minh được.

.

- Xét.

.

1. Cho dãy số thỏa mãn: . Tính .

Hướng dẫn giải

Đặt . Từ giả thiết suy ra .

Với số dương bé tùy ý, tồn tại số sao cho với thì ta có:.

(1).

- Nếu thì từ (1) dẫn đến .

- Xét trường hợp hay cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.

. Nếu thì kết hợp với (1): dẫn đến .

Mà từ (1) ta có .

. Nếu thì kết hợp với (1): dẫn đến .

Tóm lại luôn có , hay .

Vậy .

1. Cho dãy xác định như sau: và . Với mỗi số nguyên dương , đặt . Tìm .

Hướng dẫn giải

Đặt ta có .

Bằng quy nạp ta chứng minh được .

Xét .

Do đó là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên, suy ra ,. Khi đó ta có (vô lí), suy ra không bị chặn trên. Vậy .

Từ (*) suy ra , hay .

.

Vậy .

1. Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Dãy số được xác định bởi .

Ta chứng minh .

Thật vậy ta có .

Giả sử , khi đó nên.

.

Do đó theo nguyên lý quy nạp thì .

Xét hàm số trên khoảng .

Ta có .

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng .

Mặt khác ta có .

Giả sử .

.

Do đó ⇒ Dãy là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn.

Giả sử . Từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta được:.

.

.

Vậy .

1. Cho dãy số thỏa mãn: và (*).
   Tìm: .

Hướng dẫn giải

* Ta có: .

Và: là dãy số tăng.

* Đặt .

xác định vì và .

.

Nên từ giả thiết (*) ta có:.

.

(1).

* Xét dãy số ta có:.

. tăng.

. Giả sử có giới hạn là . Từ (1) ta có:.

(loại).

tăng và không bị chặn .

* Ta có:.

.

.

.

Vậy: .

1. Cho dãy số ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: Chứng minh dãy số có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:.

.

Nhận xét .

.

.

Ta dự đoán dãy số là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là .

Chứng minh dãy số bị chặn: tức là .

khi vậy đúng.

Giả sử , ta chứng minh:.

Thật vậy ta có:.

.

Vậy dãy số bị chặn dưới.

Ta chứng minh dãy số là dãy số giảm.

Ta có:.

(vì ).

Vậy dãy số giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.

Đặt thì .

Ta có:.

.

Vậy .

1. Cho dãy số được xác định bởi.

.

Với mỗi số nguyên dương n, đặt . Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có kết quả sau: với số thực bất kì, ta có.

.

Do đó là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn .

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.

.

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2.

Suy ra dãy tăng và không bị chặn trên nên .

Ta có .

.

.

.

Suy ra .

Vậy .

1. Cho dãy số được xác định bởi .

a)Chứng minh rằng tăng và .

b)Với mỗi số nguyên dương , đặt Tính .

Hướng dẫn giải

a)Ta có Do đó tăng.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng (1).

Thật vậy, (1) đúng với .Giả sử (1) đúng với thì.

.

Vậy (1) đúng với mọi n. Từ tăng ngặt và suy ra .

b)Ta có . Suy ra .

Từ đó .

.

Từ . Vậy .

1. Cho dãy :. Chứng minh dãy hội tụ và tính .

Hướng dẫn giải

Bổ đề 1: .

Bổ đề 2: .

Đặt . Áp dụng bổ đề 1: .

.

Chia các vế cho : .

Cho , và lấy giới hạn, suy ra .

1. Cho dãy số . Tính giới hạn .

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh quy nạp .

Rõ ràng khẳng định đã đúng với .

Giả sử đã có . Ta chứng minh .

Thật vậy: .

.

Vậy ta có .

1. Cho và dãy số với:.

a) Chứng minh: với .

b) Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh với bằng quy nạp.

Ta có: nên .

Giả sử: với .

Ta có: và nên . Suyra: .

Vậy với .

Ta chứng minh là dãy giảm bằng quy nạp.

Vì nên .Ta có .

Giả sử:. Ta có: 3 và = là hàm nghịch biến nên:.

.

Suy ra:. Vậy là dãy giảm.

lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

Đặt .Ta có ..

Vậy .

1. Cho dãy số được xác định: .

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có .

Chứng minh : (bằng quy nạp).

*với ta có .

*Giả sử (với ).

*Cần chứng minh : .

Ta có . Suy ra điều phải chứng minh.

Từ đó ta có với mọi .

Ta có .

.

Công thức tổng quát : .

Vậy .

1. Cho số thực , xét dãy số với:.

a) Chứng minh rằng:.

b) Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh:.

đúng với n=1.

Giả sử với . Ta có:.

.

.

Vậy: .

b) Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Ta chứng minh: là dãy tăng.

.

hay là dãy tăng.(2).

Từ (1),(2) suy ra có giới hạn hữu hạn.Giả sử có giới hạn là .

Ta có:. Vậy .

1. Cho dãy số(u_n) xác định như sau: .

a) Chứng minh rằng:.

b) Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

a) Với: đúng với n=1.

Giả sử: với .

Ta có: .

.

. Vậy: .

b) hay là dãy giảm (2).

Từ (1),(2) suy ra có giới hạn hữu hạn.

Gọi là giới hạn của ,.

Ta có . Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi: . Tìm giới hạn sau:.

Hướng dẫn giải

Từ đề bài ta có: . Suy ra: .

Ta có: .

Ta có là dãy đơn điệu tăng và .

Nếu thì .

( vô lí vì là dãy đơn điệu tăng và ).

Suy ra: .

Kết luận:.

1. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng dãy (u_n) có giới hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Từ hệ thức truy hồi suy ra .

Bằng quy nạp chứng minh được > 0, với mọi n.

Do đó ta có:.

.

Mặt khác ta có :.

.

(u_n) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi , do đó (u_n) có giới hạn hữu hạn.

Đặt .

Ta có : . Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi: .

a) Chứng minh rằng ;.

b) Với mỗi số nguyên dương , đặt . Tính .

Hướng dẫn giải

a) Xét .

Bằng quy nạp chứng minh được .

Xét .

.

Do đó là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên. Vậy .

b) Từ (*), suy ra: .

Suy ra: .

Vậy .

1. Cho dãy số . Tìm giới hạn của dãy số với .

Hướng dẫn giải

.

.

Từ đó .

Dễ thấy là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên. Vậy .

Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi . Tìm giới hạn của dãy với .

Hướng dẫn giải

.

Suy ra: .

Dễ thấy là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên. Vậy .

Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi . Đặt .
   Tìm .

Hướng dẫn giải

.

Ta có .

Dễ thấy: suy ra là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên. Vậy .

Vậy .

1. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Đặt Tính: limS_n.

Hướng dẫn giải

.

.

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được .

Khi đó: suy ra là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên.

Vậy .

Vậy .

1. Cho dãy số xác định bởi: .

a) Chứng minh rằng ;.

b) Với mỗi số nguyên dương , đặt . Tính .

Hướng dẫn giải

a) Xét .

Bằng quy nạp chứng minh được .

Xét .

.

Do đó là dãy tăng và .

Giả sử bị chặn trên .

Do đó: (vô lý). Suy ra không bị chặn trên. Vậy .

b) Từ (*), suy ra: .

Suy ra: .

Vậy .

3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

1. Cho dãy số thỏa mãn . Tìm tất cả các số thực sao cho dãy số xác định bởi () hội tụ và giới hạn của nó khác 0.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có dãy số là dãy số dương và tăng(1).

Giả sử bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt , ta có ngay (vô lý).

Vì vậy không bị chặn trên (2).

Từ (1) và (2) ta có .

Xét . Đặt (), ta có .

.

Suy ra . Từ đó (sử dụng trung bình Cesaro).

Ta có .

Vậy là giá trị cần tìm.

1. Cho dãy số xác định như sau:

a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để .

b) Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

a) Trước hết ta luôn có . Xét (1).

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được và .

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Ta có (2).

Chia vế của (1) cho (2) có .

Đặt , ta có .

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được , với là dãy số Phibonxi: .

Hay khi , dẫn đến .

1. Cho dãy số được xác định như sau.

.

Đặt , hãy tính .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy .

Theo bài ra ta có.

.

Suy ra .

Do đó .

Mặt khác, từ ta suy ra .

Kết hợp với ta có.

.

Từ đó ta có .

1. Cho dãy số thực với thỏa mãn .

Tìm .

Hướng dẫn giải

Với mỗi , đặt .

Ta có .

.

Do đó là hàm tăng thực sự trên .

Ta có .

Do đó sao cho và .

Ta thấy .

Do đó: .

Vậy .

1. Cho dãy số thỏa mãn: .

Tìm .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy . Từ giả thiết ta có .

Với mỗi , đặt ta có và.

.

Do đó .

Vậy .

1. Tính các giới hạn sau:

a) . b) .

Hướng dẫn giải

.

.

1. Tính giới hạn .

Hướng dẫn giải

.

.

.

1. Cho là số nguyên dương và .Chứng minh rằng: .

Hướng dẫn giải

Đặt khi đó từ .

Vậy .

1. Tính các giới hạn sau:.

a/ b/.

Hướng dẫn giải

Câu a.

.

.

.

Mà ta có các công thức:;;.

Do đó:là một đa thức bậc có hệ số bậc là .

Và là một đa thức bậc có hệ số bậc là .

Do đó:.

Câu b.

=.

Vì .

Vì và áp dụng công thức , nên.

1. Cho dãy số thỏa mãn . Tìm với .

Hướng dẫn giải

Ta có

Với n: (1).

(2)_.

Từ (1) và (2) ta có .

Suy ra .

.

suy ra =.

1. Tính giới hạn hàm số : .

Hướng dẫn giải

Ta có:.

.

= .

= .

= .

= = .

1. Tính: .

Hướng dẫn giải

.

1. Cho dãy số thỏa mãn: . Tìm .

Hướng dẫn giải

Dễ thấy . Từ giả thiết ta có .

Với mỗi , đặt ta có và.

.

Do đó .

Vậy .

1. Cho dãy số thỏa mãn .

Hướng dẫn giải

Ta có với mọi .

Do đó dãy bị chặn dưới.

Với mọi , ta có ⇒ .

Do đó là dãy giảm.

Từ đó suy ra dãy có giới hạn và dễ dàng tìm được .

1. Cho dãy số thực : . Xét dãy số cho bởi :

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó.

Hướng dẫn giải

▪ Ta có : .

▪ Đặt : thì ta có .

.

.

.

.

Khi đó : . Suy ra là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2.

Xét phương trình đặc trưng : .

Dãy có số hạng tổng quát dạng .

trong đó : .

▪ Lúc này, ta có.

.

Suy ra : .

▪ Vậy : .

1. Cho dãy số xác định bởi: , . Tìm .

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có nên xác định bởi có giới hạn hữu hạn, giả sử ( hữu hạn).

Cũng từ ta có .

.

Do đó .

.

….

.

Cộng theo vế ta được : .

.

Mà ( do) nên.

hay .

1. Cho dãy số xác định bởi : . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có .

Hàm số liên tục và nghịch biến trên [0,+), .

Ta có bị chặn.

.

suy ra dãy tăng và dãygiảm suy ra là các dãy hội tụ.

Giả sử .

Từ .

Từ .

Giải hệ phương trình . Vậy .

1. Cho và , Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có và .

Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là.

Từ đó suy ra .

3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

1. Tìm .

Hướng dẫn giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) ⁿ (*) (∀ n N^*).

Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có 1 > (đúng).

Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > ( )^k. Ta đi chứng minh (*) đúng với.

n = k+1.

Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) ^k (k+1) = ( )^k+1. > ( )^k+1.

Bất đẳng thức cuối này đúng vì :.

(1+ )^k =1++ +.+.=.

= 1+1++.+< 1+1+ +… +<1+1++.+<.

<1+1++.++.< 1+ = 3.

Vậy (*) đúng với . Do đó ^, từ đây ta suy ra .

=> 0 < <.

Vì = 0.

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: = 0.

Vậy =2014.

Cho dãy số thoả mãn .

Tính .

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương.

Đặt , ta có dãy .

Lại đặt , ta có dãy .

Tìm được số hạng tổng quát của dãy là .

Từ đó ta có .

1. Cho dãy : .

a) Chứng minh dãy hội tụ và tính .

b) Chứng minh .

Hướng dẫn giải

a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: .

Đặt và xét hàm .

Suy ra , như vậy nghịch biến trên đoạn .

Dẫn đến .

Kết hợp công thức xác định dãy ta được.

.

Vậy .

b) Nhận xét: thì .

Dẫn đến , .

(1).

Như vậy bất đẳng thức đúng với .

Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1) thu được:.

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1. Cho dãy số thực . Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Chứng minh .

Với đúng.

Giả sử đúng với , ta chứng minh đúng với .

Ta có .

; (luôn đúng).

Vậy (1) được chứng minh.

Xét hàm trên . Ta có .

Hàm có với mọi nên hàm này đồng biến trên .

Suy ra , suy ra .

hay hàm nghịch biến trên .

Ta có .

Suy ra .

Quy nạp ta được dãy giảm và dãy tăng.

Hơn nữa nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử , lấy giới hạn hai vế ta được.

.

Đặt , ta được phương trình .

Hàm nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận thấy là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất.

Suy ra , thay vào được .

Vậy .

1. Cho dãy số thỏa mãn và dãy thỏa mãn . Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có .

Do đó .

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng .

Thật vậy:.

- Với n = 1, ta có nên khẳng định đúng.

- Giả sử khẳng định đúng với n . Ta có , ta cần chứng minh .

.

Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với .

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh.

Ta có .

Theo nguyên lí kẹp thì dãy có giới hạn và .

1. Cho dãy số được xác định bởi: .

Chứng minh dãy số hội tụ và tìm .

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh .

Thật vậy: : .

(*) đúng với .

Giả sử (*) đúng tới , k, nghĩa là có : .

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy .

.

( vì khi thì ).

.

⇒ (*) cũng đúng với .

Vậy .

.

Vậy dãy hội tụ và có .

1. Cho phương trình: với nN, .

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất .

2)Xét dãy số sau đây: , Tìm .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: , với n nguyên, (1).

+) Ta có: . Do , nên khi thì . Vậy là hàm số đồng biến trên .

Lại có: ; ( vì nguyên và n3).

Ta có: và liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất trên .

+) Mặt khác với thì ( do ) suy ra với mọi .

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, .

Gọi là nghiệm dương duy nhất của phương trình .

Bây giờ xét dãy với , .

Ta có: hay .

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:.

< (2).

(Chú ý rằng ở đây nên , vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng).

+) Mặt khác do , nên , nên từ (2) có: (3).

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n3 và nên từ (3) ta có: .

+) Ta có: .

Từ đó: (5).

Đặt .

Ta có: suy ra từ (5) .

Vậy: .

1. Cho số thực xét dãy số được xác định bởi. Tìm tất cả các giá trị của để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?.

Hướng dẫn giải

Với thì nên .

Với thì .

Do đó .

Từ đó, tính được ,.

Kết luận + .

+ .

+ .

1. Cho dãy số xác định như sau: . Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có : .

Xét hàm số : .

.

.

Ta có :.

.

Vậy : thì .

.

Gọi a là nghiệm của : .

Ta có : .

Theo định lí La-grăng : .

Do .

.

Mà .

Vậy : .

1. Cho dãy số xác định như sau: . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

* Vì nên .

* Áp dụng BĐT Cauchy ta có . Dấu bằng xảy ra .

.

* .

* .

Xét hàm số .

nghịch biến trên .

* Vì .

giảm và bị chặn dưới có giới hạn hữu hạn.

* Giả sử . Từ chuyển qua giới hạn ta có.

.

* Vậy .

1. Cho dãy số được xác định bởi: và , với . Tìm .

Hướng dẫn giải

Với mọi ; ta có.

.

(1).

Từ (1) ta có: (2).

Mặt khác, vì nên từ và chứng minh bằng quy nạp ta thu được với mọi .

Do đó . Khi đó, .

nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: .

Vậy, từ (2) suy ra: .

Mặt khác, hàm số liên tục trên nửa khoảng nên.

.

Kết luận: .

1. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực thỏa mãn.

và.

b) Với dãy xác định như trên, xét dãy xác định bởi Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xác định duy nhất với mỗi Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực , phương trình có đúng một nghiệm trên .

b) Để ý rằng .

Ta có giới hạn cần tìm bằng .

1. Giả sử là dãy Fibonacci ( với ). Chứng minh rằng nếu với mọi thì dãy số , trong đó là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử đã được xác định. Khi đó được xác định khi .

* Nếu thì do nên .

Từ giả thiết ta viết , .

Giả sử , với i nào đó, .

Vì nên .

Khi đó . Mâu thuẫn với giả thiết . Như vậy là dãy số xác định.

Phương trình có hai nghiệm . Có hai trường hợp xảy ra:.

Trường hợp 1: . Khi đó . Do đó .

Trường hợp 2: . Chú ý . Do đó .

Đặt , ta có.

.

Từ đó có nên khi (vì ).

Từ suy ra dần tới u khi (do ).

Tức là trong trường hợp này .

1. Cho dãy số thỏa mãn . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn bằng 0 khi .

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có , do đó dãy số là dãy tăng, vì.

vậy .

,.

. Mà nên theo định lý kẹp ta có.

.

1. Cho là một dãy số dương. Đặt với Giả sử với Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có là dãy số tăng.

Nếu dãy số bị chặn trên thì là một dãy hội tụ và .

Xét trường hợp dãy số không bị chặn trên thì .

Từ giả thiết ta có .

Từ đây ta thu được .

Do đó .

Theo nguyên lí kẹp ta có .

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có .

1. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Đặt . Khi đó.

.

Mặt khác nên.

.

Từ (*) và (**) suy ra: .

Vậy: Do đó là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn tại .

Vì liên tục trên nên.

.

Vậy dãy được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy có giới hạn bằng .

1. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.

1. với mọi .

2. với mỗi .

Hướng dẫn giải

và bởi vì nên .

.

.

.

Dùng quy nạp theo ta CM được .

Cố định ta có .

Xét dãy ta có : .

Vậy .

Vậy .

Kết hợp ( 1) và (3) ta được .

Từ (2) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được .

Thử lại ta thấy đúng.

1. Cho dãy số được xác định như sau . Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi dần đến vô cùng.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy , với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên.

Ta chứng minh .

Thật vậy, với nên điều cần chứng minh đúng.

Giả sử ta có: , với nguyên dương. Ta cần chứng minh .

Theo công thức xác định dãy số có: .

Do đó với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1. Cho dãy số thực xác định bởi . Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Có , giả sử . Từ công thức truy hồi ta có:.

vì .

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được .

Xét hai dãy số mới và với .

Có , giả sử ta có , khi đó.

.

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn .

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được .

Do nên suy ra .

Chứng minh tương tự đối với dãy số , ta cũng có .

Cuối cùng ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:.

Ta có và , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới , tức là . Khi đó.

.

Từ và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được .

1. Cho hai dãy số xác định bởi , và với n = 1, 2, 3,…. Tìm và .

Hướng dẫn giải

Với mọi n = 1,2,3,… ta có.

.

Do đó:.

.

Tương tự ta có: .

Từ đó:;.

Chú ý: và , nên theo nguyên lí kẹp ta có: .

Mặt khác: hay . Suy ra: . Do đó = (vì ).

1. Cho dãy số thực xác định bởi . Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

+ Ta Có , giả sử . Từ công thức truy hồi ta có:.

vì .

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được .

+ Xét hai dãy số mới .

và .

- Có , giả sử ta có , khi đó.

.

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn . Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được . Do nên suy ra .

- Chứng minh tương tự đối với dãy số , ta cũng có .

- Cuối cùng ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp:.

Ta có và , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới , tức là . Khi đó.

.

+ Từ và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được .

1. Tìm giới hạn: .

Hướng dẫn giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: (*) ).

Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy: với , ta có (đúng).

Giả sử (*) đúng với tức là: . Ta đi chứng minh (*) đúng với.

.

Ta có . .

Bất đẳng thức cuối này đúng vì:.

.

Vậy (*) đúng với . Do đó , từ đây ta suy ra >.

=> . Vì .

Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: = 0.

Vậy =2014.

3.4. CÁC DẠNG KHÁC

1. Tìm các giá trị thực của tham số để dãy số : có giới hạn hữu hạn.

Hướng dẫn giải

*) .

Xét hàm số: ta có nghịch biến trên .

Suy ra đơn điệu và bị chặn.

+ .

.

Giả sử .

.

Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇒ có giới hạn hữu hạn.

Khi hệ (II) có nghiệm duy nhất lớn hơn và hệ (III) có nghiệm thỏa mãn . Do đó không có giới hạn.

.

không có giới hạn.

+.

+.

không có giới hạn.

*) tượng tự ta có và .

1. Cho số thực xét dãy số được xác định bởi . Tìm tất cả các giá trị của để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?.

Hướng dẫn giải

Với thì nên .

Với thì .

Do đó .

Từ đó, tính được ,.

Kết luận + .

+.

+.

1. Cho hai dãy số dương xác định bởi: và . Với mọi . Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh bằng quy nạp . Thật vậy.

Với , ta có , vậy đúng.

Với , ta có , vậy đúng.

Giả sử khẳng định đúng đến , tức là .

Ta chứng minh . Thật vậy. Từ ta có.

Khi đó từ , suy ra .

Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì .

Do đó .

Kết luận: .■.

1. Cho dãy số xác định như sau : . Tìm điều kiện của để dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: .

* Suy ra dãy số tăng knn ; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có: .

- Nếu có chỉ số mà thì trái với kết quả .

Do đó: với mọi hay .

.

* Đảo lại: Nếu .

.

và .

Bằng quy nạp ta chứng minh được (H/s trình bày ra).

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn.

Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn khi và .

1. Cho dãy số thỏa mãn . Tìm a sao cho dãy số xác định và có giới hạn hữu hạn.

Hướng dẫn giải

Đặt . Ta có . Ta có.

.

Bảng biến thiên.

Ta xây dựng dãy số như sau .

Nhận thấy .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy .

.

Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy đơn điệu giảm, bị chặn bởi 0 và , dãy đơn điệu tăng và bị chặn bởi và 0. Từ đó tồn tại .

Ta có .

(*).

(do liên tục trên , và ).

Xét . Ta có nên . Vậy .

Tương tự ta chứng minh được dãy đơn điệu tăng, hội tụ về .

+) Nếu thì nên ta có dãy .

Dãy này không hội tụ.

+) Nếu ta có dãy .

Dãy này không hội tụ.

+) Nếu tồn tại n sao cho thì ta có.

.

Khi đó không tồn tại .

Vậy nếu thì dãy không xác định.

+) Nếu thì hai dãy con cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0.

Nếu thì và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1. Khi đó dãy hội tụ về 1.

+) Nếu thì . Khi đó ta có thể khảo sát dãy từ . Trường hợp này dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi nên hội tụ về.

+) Nếu a = 1 thì nên dãy hội tụ về .

+) Nếu ta có và nên tồn tại sao cho (Thật vậy, các số hạng của không thể cùng nằm bên trái a do , chúng cũng không thể cùng nằm bên phải do nếu thế thì ).

Vậy . Khi đó ta lại có dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ về 1.

Vì f(x) là hàm lẻ nên trường hợp ta khảo sát tương tự.

Kết luận: Điều kiện để dãy xác định và có giới hạn hữu hạn là.

.

1. Cho dãy số xác định bởi và . Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do ).

Nhận xét: .

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap.

Thật vậy.

Với ta có (đúng).

Giả sử .

Ta có .

.

(đúng).

Suy ra .

Như vậy (điều phải chứng minh).

Mặt khác, .

(1).

Áp dụng (1) ta có.

.

Suy ra .

.

.

(2).

Ta lại có (do ).

Suy ra .

Từ (2) (vì ).

.

Mà .

Do đó hay .

1. Cho và . Xét dãy số được xác định bởi: , với mọi . Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn khi Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

* Theo bất đẳng thức Côsi ta có:.

, với . (1).

Do đó: .

Từ (1) và (2) ta có dãy số giảm và bị chặn dưới bởi ;.

suy ra dãy số có giới hạn hữu hạn khi .

Giả sử ; ().

Chuyển qua giới hạn hệ thức .

ta có phương trình .

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy .

1. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số .

Ta có ; .

Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):.

.

Suy ra .

Do đó .

Suy ra hay là dãy giảm. Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ.

Đặt . Chuyển qua giới hạn ta được .

Vậy .

1. Tìm tất cả các hằng số sao cho mọi dãy số dãy số thỏa mãn đều hội tụ. Với giá trị tìm được hãy tính giới hạn của dãy .

Hướng dẫn giải

Ta xét các trường hợp sau.

+ Nếu , thì từ giả thiết, ta có .

Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra . Do nên khi . Do đó, không thỏa mãn.

+ Nếu , thì tồn tại sao cho . Thật vây, lấy đặt , thì.

.

Chú ý là Do đó, ta chỉ cần chọn như trên và thì được 2 bất đẳng thức nêu trên.

Xét dãy số xác định bởi.

.

thì dãy thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, cũng không thỏa mãn.

+ Nếu , thì . Suy ra dãy tăng và bị chặn. Do đó, hội tụ.

Đặt thì từ giả thiết ta có hay Vậy .

1. Cho dãy số xác định như sau: , , . Tìm giới hạn của dãy với .

Hướng dẫn giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: .

Xét tính đơn điệu của dãy . Từ hệ thức ta suy ra được , vậy dãy số tăng.

Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được .

với .

Thay n bởi 1, 2, 3,., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra :.

.

Do dãy là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:.

1) Dãy bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi ta có: , vô lý.

2) Dãy không bị chặn trên, do tăng và không bị chặn trên nên .

Vì thế từ (2) ta suy ra: .

1. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn : . Tính .

Hướng dẫn giải

.

Do => .

suy ra (1).

Lại có.

.

=> .

Suy ra.

.

Do .

và (Bất đẳng thức Bunhiacopxki).

suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra.

.

Do đó .

1. Cho số thực a, xét dãy số xác định bởi: Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi .

Hướng dẫn giải

Đặt .

.

.

Áp dụng định lí Lagrange cho hàm sốliên tục và có đạo hàm trên , thì với mọi số thực x,y tồn tại sao cho:.

.

Với ta có: .

Mặt khác: bị chặn.

Do đó: .

Vậy là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ.

1. Cho hai dãy số và xác định như sau: và khi . Chứng minh rằng hai dãy và có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có suy ra mà khi .

Suy ra .

.

bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được.

.

.

Mặt khác nên ta có.

.

.

Do đó.

.

1. Với mỗi , đặt .

a) Chứng minh đa thức có duy nhất 1 nghiệm thực thuộc .

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy .

Hướng dẫn giải

a) Ta có .

nên trong mỗi khoảng , có 1 nghiệm của phương trình .

Mặt khác, ta có nên đa thức có duy nhất 1 nghiệm thuộc khoảng .

b) Ta có .

Do có nghiệm không là nghiệm của nên nghiệm của phương trình là nghiệm của phương trình:.

.

Ta có: .

Nên nghịch biến trên .

Lại có: .

⇒ .

.

Do đó dãy là dãy giảm.

Lại có . Vậy dãy có giới hạn.

1. Cho và ,Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có .

.

.

.

1. Cho dãy axác định bởi: . Tìm nhỏ nhất thỏa mãn .

Hướng dẫn giải

Ta có và . Chứng minh bằng quy nạp ta được (*).

Ta lại có: .

.

Do đó: .

Suy ra .

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì . Vì phương trình có duy nhất nghiệm là , bởi vậy dãy không có giới hạn hữu hạn. Suy ra (**).

Với mọi thì từ suy ra tồn tại sao cho . Do đó .

1. Cho số thực: , . Xét dãy số xác định như sau:..

Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng là số nguyên (với là phần nguyên của số thực – số nguyên lớn nhất không vượt quá ).

Hướng dẫn giải

Đặt , . Gọi d là công sai của cấp số cộng , thì: .

Với mọi ta luôn có: .

Cộng vế với vế của bất đẳng thức cùng chiều, ta được:.

.

Thay bởi và thay bởi , có:.

.

.

Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:.

.

.

.

.

Vì nên suy ra . Mặt khác dãy gồm toàn số nguyên nên công sai cũng là số nguyên. Vậy nguyên. (đpcm).

1. Cho dãy số thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn.

Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh với mọi (1).

Thật vậy đúng.

Giả sử (1) đúng với : .

.

= .

.

.

(đpcm).

*) Ta chứng minh có giới hạn.

NX: tăng và với mọi .

Ta có .

.

với mọi .

Vậy có giới hạn.

1. Cho dãy số tăng,và . Xét dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng tồn tại .

Hướng dẫn giải

Dễ dàng thấy rằng dãy tăng ngặt.

Trường hợp 1. Nếu .

.

vậy dãy bị chặn trên do đó tồn tại .

Trường hợp 2. Nếu .

thật vậy .

.

Ta chứng minh (**).

Xét hàm số Trên đoạn .

Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số thoả mãn (đpcm).

Từ đó ta có dãy bị chặn trên do đó tồn tại .

1. Cho dãy số xác định bởi . Đặt . Chứng minh tồn tại ( trong đó là phần nguyên của ).

Hướng dẫn giải

Ta có .

Suy ra .

Chứng minh .

Ta có : .

suy ra dãy đã cho là tăng.

Như vậy .

Vậy , suy ra .

1. Cho dãy số được xác định như sau .

Tìm các giới hạn sau: và .

Hướng dẫn giải

Ta có: : (1).

Áp dụng (1) ta suy ra: .

Theo quy nạp ta có: (2).

Lập luận tương tự ta cũng có: (3).

Từ (2) và (3) ta suy ra: .

Lại có: , từ đó suy ra: .

Tương tự ta có : .

Mặt khác ta có: . Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:.

.

Như vậy theo định lí kẹp ta suy ra .

Hơn nữa theo đề bài ta có: .

Suy ra: .

Vậy .

.

.

Tóm lại ta có: và .

1. Cho dãy số xác định bởi và . Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do ).

Nhận xét: .

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap.

Thật vậy.

Với ta có (đúng).

Giả sử .

Ta có .

.

(đúng).

Suy ra .

Như vậy (điều phải chứng minh).

Mặt khác, .

(1).

Áp dụng (1) ta có.

.

Suy ra .

.

.

(2).

Ta lại có (do ).

Suy ra .

Từ (2) (vì ).

.

Mà .

Do đó hay .

1. Cho trước số thực dương và xét dãy số dương thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số .

Ta có ; .

Ta có bảng biến thiên của hàm :.

.

Suy ra .

Do đó .

Suy ra hay là dãy giảm. Kết hợp với với mọi n ta suy ra dãy hội tụ.

Đặt . Chuyển qua giới hạn ta được .

Vậy .

1. Cho dãy số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Xét dãy .

Ta thấy .

Ta có .

Vậy dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ, .

Chuyển qua giới hạn ta được: .

Ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp theo n.

Ta có . Giả sử .

Suy ra .

.

Vậy (*) đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy ra .

1. Cho dãy số thực xác định bởi:. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Dễ dàng quy nạp .

Ta có: =.

Vậy với mọi nên dãy bị chặn.

Xét khi .

Ta có:.

.

.

Áp dụng định lý Lagrang có:.

Do đó .

1. Cho dãy số xác định bởi: . Tìm .

Hướng dẫn giải

Vì nên đặt .

Ta có .

Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được .

Xét.

.

1. Bài 1. Cho dãy số xác định bởi.
2. .
3. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.
4. Hướng dẫn giải
5. Theo Côsy thì.
6. .

dãy giảm, bị chặn bởi 1, vậy dãy có giới hạn.

Từ .

1. Cho dãy số , xác định bởi: . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số trên . Ta thấy liên tục và nghịch biến trên (Vì ). Do đó .

Ta có với mọi n dãy bị chặn.

Mặt khác, ta có .Suy ra dãy là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy , có giới hạn hữu hạn.

Giả sử và , ().

Từ .

.

Vậy ta có hệ .

Vậy lim = .

1. Cho dãy số được xác định bởi với mỗi số nguyên dương n, đặt . Tìm .

Hướng dẫn giải

Ta có kết quả sau: với số thực bất kì, ta có.

.

Do đó Suy ra dãy là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn .

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.

.

phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2.

Suy ra dãy tăng và không bị chặn trên nên .

Ta có .

.

.

.

Suy ra .

Vậy .

1. Dãy số thực được xác định bởi: . Tìm tất cả các giá trị của a để với mọi số tự nhiên n.

Hướng dẫn giải

Giả sử với .

Từ có .

Lại từ có .

Suy ra và .

Từ đó .

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:.

.

Mà nên phải có .

Thử lại với thì .

Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.

1. Cho dãy số thực (x_n) xác định bởi: .

Hướng dẫn giải

Sử dụng bất đẳng thức .

Xét hàm số .

Ta có: ⇒ f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0.

Do đó: . mà vì .

Vậy ta có .

Mặt khác: .

Vì ⇔ .

⇒ do .

⇒ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử , ta có phương trình:.

.

Xét hàm số .

.

.

. Do đó luôn đồng biến và liên tục với mọi .

⇒ phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy .

1. Cho hai dãy số dương xác định bởi: và . Với mọi . Chứng minh rằng hai dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh bằng quy nạp . Thật vậy.

Với , ta có , vậy đúng.

Với , ta có , vậy đúng.

Giả sử khẳng định đúng đến , tức là .

Ta chứng minh . Thật vậy. Từ ta có.

Khi đó từ , suy ra .

Như vậy theo nguyên lý quy nạp thì .

Do đó .

Kết luận: .■.

1. Cho dãy số xác định như sau:.. Tìm điều kiện của để dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: .

* Suy ra dãy số tăng knn; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.

Giả sử , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có: .

- Nếu có chỉ số mà thì trái với kết quả .

Do đó: với mọi hay .

.

* Đảo lại: Nếu .

.

và .

Bằng quy nạp ta chứng minh được .

Như vậy dãy tăng knn, bị chặn trên bới , do đó dãy số có giới hạn hữu hạn.

Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn khi và .

1. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Đặt . Khi đó.

.

Mặt khác nên.

.

Từ (*) và (**) suy ra: .

Vậy: Do đó là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn tại .

Vì liên tục trên nên .

Vậy dãy được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy có giới hạn bằng .

1. Cho dãy số xác định . Tính .

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có: mà suy ra.

do đó dãy là dãy tăng.

Giả sử dãy bị chặn trên suy ra với khi đó.

.

Vô lý do . Suy ra dãy không bị chặn trên do đó.

.

Ta có.

.

.

1. Cho dãy số thực xác định bởi: . Tính .

Hướng dẫn giải

Sử dụng bất đẳng thức .

Xét hàm số .

Ta có: ⇒ f(x) luôn đồng biến với mọi x > 0.

Do đó: . mà vì .

Vậy ta có .

Mặt khác: .

Vì . .

⇒ do .

⇒ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi nên tồn tại giới hạn hữu hạn.

Giả sử , ta có phương trình:.

.

Xét hàm số .

.

.

⇒ . Do đó luôn đồng biến và liên tục với mọi ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy .