Tổng của n số hạng

Nếu $ { u _ 0 }=0\Rightarrow { u _ n }=0,\forall n\in N $

Nếu $ { u _ 0 }\ne 0 $ . Bằng quy nạp ta chứng minh được $ { u _ 0 }\ne 0,\forall n\in N $

Khi đó: $ \dfrac{1}{{}{ u _ n }}=\dfrac{2{ u _{n-1}}+1}{{ u _{n-1}}}=2+\dfrac{1}{{}{ u _{n-1}}} $

Đặt $ { v _ n }=\dfrac{1}{{}{ u _ n }}\Rightarrow { v _ n }=2+{ v _{n-1}}\Rightarrow ({ v _ n }) $ là cấp số cộng có công sai $ d=2 $

\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow {v_n} = {v_0} + nd = \frac{1}{{{u_0}}} + 2n\\
 \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{{v_n}}} = \frac{{{u_0}}}{{2n{u_0} + 1}}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]

Đổi $ 18cm=0,18m $

Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là $ { h _ n } $

Ta có: $ { h _ n }=0,5+n.0,18(m) $

Vì cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc nên ta có chiều cao của sàn tầng hai so với mặt sân là $ { h _{21}} $

Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là:

$ { h _{21}}=0,5+21.0,18=4,28(m) $

Ta có: $ { u _ 1 }+{ u _ 2 }+{ u _ 3 }+{ u _ 4 }=360\Leftrightarrow 30+30+d+30+2d+30+3d=360\Leftrightarrow d=40 $ .

Vâỵ $ { u _ 2 }=70; { u _ 3 }=110; {{ u }_ 4 }=150 $ .

 

Theo giả thiết ta có: \[ A,B,C,D \] là một cấp số cộng và \[ C=5A \]

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \[ d \]

Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \[ \left\{ \begin{align} & B=A+d \\ & C=A+2d \\ & D=A+3d \\ \end{align} \right. \]

\[ \Rightarrow A+2d=5A\Leftrightarrow 4A-2d=0 \] (1)

Ta lại có: \[ A+B+C+D={{360}^{\circ }} \]

\[ \Leftrightarrow 4A+6d={{360}^{\circ }} \] (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ: \[ \left\{ \begin{align} & 4A-2d=0 \\ & 4A+6d={{360}^{\circ }} \\ \end{align} \right. \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d={{45}^{\circ }} \\ & A={{22,5}^{\circ }}={{22}^{\circ }}30' \\ \end{align} \right. \]

\[ B=A+d={{22}^{\circ }}30\prime +{{45}^{\circ }}={{67}^{\circ }}30\prime \]

\[ C=A+2d={{22}^{\circ }}30\prime +{{2.45}^{\circ }}={{112}^{\circ }}30\prime \]

\[ D=A+3d={{22}^{\circ }}30\prime +{{3.45}^{\circ }}={{157}^{\circ }}30' \]

Vậy \[ A={{22}^{\circ }}30\prime ;B={{67}^{\circ }}30\prime ;C={{112}^{\circ }}30\prime ;D={{157}^{\circ }}30\prime \]

\[ \Rightarrow A + C = {135^0}.\]

 

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

$ S=1+2+3+...+12 $

Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có $ { u _ 1 }=1,{ u _{12}}=12 $

Do đó áp dụng công thức tính tổng. Ta có:

$ { S _{12}}=\dfrac{(1+12).12} 2 =78 $

Vậy đồng hồ đánh $ 78 $ tiếng chuông

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}
A + B + C = {180^0}\\
A + C = 2B\\
C = 5A
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C = 5A\\
B = 3A\\
9A = {180^0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = {20^0}\\
B = {60^0}\\
C = {100^0}
\end{array} \right.\]

 

Ta có: $ { u _{n+1}}=\dfrac{1}{2} \left( n+1 \right)+1=\dfrac{1}{2} n+1+\dfrac{1}{2} ={ u _ n }+\dfrac{1}{2} \forall n\in {{\mathbb N }^ * } $

$ \Rightarrow $ Đáp án $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{1}{2} $ là đúng.

 

Áp dụng công thức $ { u _{15}}={ u _ 1 }+(n-1)d={ u _ 1 }+(15-1).(-4)={ u _ 1 }-56 $

$ \Leftrightarrow { u _ 1 }-{ u _{15}}=56 $ (1)

\[\begin{array}{l}
{S_n} = \dfrac{{({u_1} + {u_n})n}}{2} \Rightarrow {S_{15}} = \dfrac{{({u_1} + {u_{15}}).15}}{2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{({u_1} + {u_{15}}).15}}{2} = 120\\
 \Leftrightarrow {u_1} + {u_{15}} = 16(2)
\end{array}\]

Từ (1) và (2) ta có hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} - {u_{15}} = 56\\
{u_1} + {u_{15}} = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 36\\
{u_{15}} =  - 20
\end{array} \right.\]

Cấp số cộng $ 3,8,13,.... $ có số hạng đầu $ {{u}_{1}}=3 $ công sai $ d=5. $
Ta đặt $ x={{u}_{n}} $
$ \begin{array}{l}
3+8+13+... +{{u}_{n}}=408242\Rightarrow 408242=n. {{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}. d \\
\Rightarrow 408242=3n+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}. 5\Leftrightarrow 5{{n}^{2}}+n-816484=0\Rightarrow n=404 \\
\Rightarrow x={{u}_{404}}=2018
\end{array} $

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: $ { S _ n }=\dfrac{n\left[ 2{ u _ 1 }+\left( n-1 \right)d \right]} 2 =\dfrac{n\left( { u _ 1 }+{ u _ n } \right)} 2 , n\in {{\mathbb N }^ * } $

Tính được: $ { S _ 5 }=-\dfrac{5}{4} $

Đặt $ a={{u}_{1}} $ thì
$ \begin{array}{l}
u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}={{\left( a+d \right)}^{2}}+{{\left( a+2d \right)}^{2}}+{{\left( a+3d \right)}^{2}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3{{a}^{2}}-36a+126=3{{\left( a-6 \right)}^{2}}+18\ge 18,\forall a.
\end{array} $
Dấu bằng xảy ra khi $ a-6=0\Leftrightarrow a=6 $ . Suy ra $ {{u}_{1}}=6 $

Ta có công sai của cấp số cộng là $ d=\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{15}}}{3-15}=\dfrac{84}{-12}=-7 $
Tổng của $ 2017 $ số hạng đầu tiên của dãy là.
\({{S}_{2017}}=2017. {{u}_{1}}+\dfrac{2017\left( 2017-1 \right)}{2}. \left( -7 \right)=-13983861.\)

Gọi ba số hạng của CSC là $ a-d;a;a+d $ với $ d $ là công sai

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
a - d + a + a + d =  - 9\\
{(a - d)^2} + {a^2} + {(a + d)^2} = 29
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 3\\
d =  \pm 1
\end{array} \right.\] .

Vậy chọn $ -4;-3;-2 $

Cách 2 thử ngược

 

Ta có. $ {{u}_{1}}={{S}_{1}}=1 $ và $ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7 $.
Vậy $ d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6 $.

Ta có $ \left( {{u}_{n}} \right) $ là cấp số cộng có công sai $ d=3 $ nên số hạng đầu là $ {{u}_{1}}={{u}_{3}}-2d=-8. $ Tổng của $ 100 $ số hạng đầu tiên là. $ S=100. \left( -8 \right)+\dfrac{100\left( 100-1 \right)3}{2}=14050 $.

Từ giả thiết bài toán, ta có: $ \left\{ \begin{align} & { u _ 1 }+4d+3({ u _ 1 }+2d)-({ u _ 1 }+d)=-21 \\ & 3({ u _ 1 }+6d)-2({ u _ 1 }+3d)=-34 \\ \end{align} \right. $

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d =  - 7\\
{u_1} + 12d =  - 34
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
d =  - 3
\end{array} \right.\]

Ta có: $ S={ u _ 4 }+{ u _ 5 }+...+{ u _{30}}=\dfrac{27} 2 \left[ 2{ u _ 4 }+26d \right] $ $ =27\left( { u _ 1 }+16d \right)=-1242 $ .

Chú ý: Ta có thể tính $ S $ theo cách sau:

$ S={ S _{30}}-{ S _ 3 }=15\left( 2{ u _ 1 }+29d \right)-\dfrac{3}{2} \left( 2{ u _ 1 }+2d \right)=-1242 $ .

 

Giả sử bốn số hạng đó là $ a-3x;a-x;a+x;a+3x $ với công sai là $ d=2x $ .Khi đó, ta có:

$ \left\{ \begin{matrix} \left( a-3x \right)+\left( a-x \right)+\left( a+x \right)+\left( a+3x \right)=20 \\ {{\left( a-3x \right)}^ 2 }+{{\left( a-x \right)}^ 2 }+{{\left( a+x \right)}^ 2 }+{{\left( a+3x \right)}^ 2 }=120 \\ \end{matrix} \right. $

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a=20 \\ 4{ a ^ 2 }+20{ x ^ 2 }=120 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=5 \\ x=\pm 1 \\ \end{matrix} \right. $

Vậy bốn số cần tìm là $ 2,4,6,8 $ .

 

Gọi $d$ là công sai của cấp số đã cho

Ta có: ${{S}_{100}}=50\left( 2{{u}_{1}}+99d \right)=24850\Rightarrow d=\dfrac{497-2{{u}_{1}}}{99}=5$

$\Rightarrow 5S=\dfrac{5}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{5}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+...+\dfrac{5}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{{{u}_{2}}-{{u}_{1}}}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{2}}}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+...+\dfrac{{{u}_{50}}-{{u}_{49}}}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{2}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}}-\dfrac{1}{{{u}_{3}}}+...+\dfrac{1}{{{u}_{48}}}-\dfrac{1}{{{u}_{49}}}+\dfrac{1}{{{u}_{49}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{1}}+49d}=\dfrac{245}{246}$

$\Rightarrow S=\dfrac{49}{246}$.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\
{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26
\end{array} \right. \]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d = 10\\
{u_1} + 4d = 13
\end{array} \right.\]

$ \Leftrightarrow { u _ 1 }=1,d=3 $

Ta có $ { u _ 5 },{ u _ 7 },...,{ u _{2011}} $ lập thành CSC với công sai $ d=6 $ và có \[\frac{{2011 - 5}}{2} + 1 = 1004\] số hạng nên $ S=\dfrac{1004} 2 \left( 2{ u _ 5 }+1003.6 \right)=3034088 $ .

 

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng nên ta có : \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right).d\Rightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=12\)
\({{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\dfrac{n(n-1)d}{2}\Rightarrow {{S}_{21}}= 21.{{u}_{1}}+\dfrac{21.21.d}{2}=504\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d = 12\\ 42{u_1} + 420d = 1008 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 4\\ d = 2 \end{array} \right.\)

Từ công thức truy hồi của dãy $ \left( {{u}_{n}} \right) $ , ta có $ \left( {{u}_{n}} \right) $ là cấp số cộng với công sai $ d=-3 $
Do đó tổng của $ 125 $ số hạng đầu tiên là. $ S=\dfrac{125\left[ 2{{u}_{1}}+\left( 125-1 \right)d \right]}{2}=16875 $

Gọi $ d $ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có
$ \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}+d=2017 \\
{{u}_{1}}+4d=1945
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=2041 \\
d=-24
\end{array} \right.$

$\Rightarrow {{S}_{20}}=20. 2041+\dfrac{20. \left( 20-1 \right). \left( -24 \right)}{2}=36260 $.

\({{u}_{n}}\) là cấp số cộng nên ta có : \({{u}_{n}}= {{u}_{1}}+ \left( n-1 \right).d\) \({{u}_{4}}+ {{u}_{97}}= 101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+ 3d +{{u}_{1}}+96d=101\)

\(\Leftrightarrow {{u}_{1}}~+ {{u}_{1}}+99d =101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{100}}=101\)
Có : \({{S}_{n}}=\dfrac{({{u}_{1}}+{{u}_{n}}).n}{2}\) \(\Rightarrow {{S}_{100}}=\dfrac{101.100}{2}=5050\)

Gọi số hạng đầu và công sai của CSC $ \left( {{u}_{n}} \right) $ là $ {{u}_{1}},d, $ ta có $ \left\{ \begin{array}{l} & {{u}_{1}}+4d=-15 \\ & {{u}_{1}}+19d=60 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} & {{u}_{1}}=-35 \\ & d=5 \end{array} \right.. $

Suy ra $ {{S}_{20}}=\dfrac{20}{2}\left( -35+60 \right)=250. $

 

 

Ta có

$\begin{array}{l} {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}}\\ = \left( {7n - 2{n^2}} \right) - \left( {7\left( {n - 1} \right) - 2{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)\\ = 7n - 2{n^2} - 7n + 7 + 2{n^2} - 4n + 2\\ = 9 - 4n\\ \Rightarrow {u_1} = 5;{u_2} = 1 \Rightarrow d = - 4\\ \Rightarrow - 143 = 5 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 4} \right) \Rightarrow n - 1 = 37 \Rightarrow n = 38 \end{array}$

Cách 2: Ta có

\[\begin{array}{l}
{u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = 9 - 4n\\
 \Rightarrow  - 143 = 9 - 4n \Leftrightarrow n = \dfrac{{152}}{4} = 38
\end{array}\]

Ta có. $ {{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0\Leftrightarrow 3{{u}_{1}}+8d=0 $
$ {{S}_{4}}=14\Rightarrow \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+3d=7 $
Từ đây ta có hệ phương trình. $ \left\{ \begin{array}{l}
3{{u}_{1}}+8d=0 \\
2{{u}_{1}}+3d=7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{u}_{1}}=8 \\
d=-3
\end{array} \right. $
Tổng $ {{S}_{50}}=50. 8-\dfrac{3. 50. 49}{2}=-3275 $