Định nghĩa và tính chất của cấp số cộng
1. Định nghĩa: Dãy $(u_n)$ là cấp số cộng khi và chỉ khi
\[{u_n} = {u_{n - 1}} + d,\forall n \ge 2\]
Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ: Dãy số $−3,1,5,9,13,17,21,25$ là một cấp số cộng với số hạng đầu tiên \[{u_1} = - 3\] và công sai $d=4$.
* CHÚ Ý: Từ định nghĩa, ta thấy để kiểm tra một dãy có phải cấp số cộng hay không, ta xét hiệu:
\[d={u_{n+1}} - {u_n}\]
Nếu kết quả là một hằng số thì dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] là một cấp số cộng, và kết quả đó chính là công sai $d$ của cấp số cộng.
Ví dụ: Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\]: \({{u}_{n}}=2n+3\).
Ta có \[{u_{n+1}} - {u_n } = 2\left( {n + 1} \right) + 3 - 2n - 3 = 2\]. Vậy dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] đã cho là một cấp số cộng với công sai $d=2$.
2. Tính chất
$u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} ,\forall k \in \mathbb{N^*}, k \ge 2$
* CHÚ Ý: Để 3 số $a,b,c$ thứ tự lập thành một cấp số cộng $\Leftrightarrow a+c=2b$.
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-5 $.
Dãy $ ({ u _ n }) $ là CSC có công sai $ d=-5 $.
Lấy ví dụ cụ thể 1 cấp số cộng với \(a= 1, b=3, c=5\) .Khi đó ta thử lại để chọn được đáp án đúng nhất
$ {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d $
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $u_1=3.1+2018=2021$.
Ta có $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{n+1}{{ 2 ^{n+1}}}-\dfrac{n}{{}{ 2 ^ n }}=\dfrac{1-n}{{ 2 ^{n+1}}}\Rightarrow ({ u _ n }) $ dãy $ ({ u _ n }) $ không là cấp số cộng.
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3 $ là hằng số.
Suy ra dãy $ ({ u _ n }) $ là cấp số cộng với công sai $ d=-3 $ .
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=2(n+1)+3-(2n+3)=2 $ là hằng số.
Suy ra dãy $ ({ u _ n }) $ là cấp số cộng với công sai $ d=2 $ .
Lấy ví dụ cụ thể 1 cấp số cộng với \(a= 1, b=3, c=5\) .Khi đó ta thử lại để chọn được đáp án đúng nhất
Ta có $ { u _{n+1}}-{ u _ n }={{\left( n+1 \right)}^ 2 }-{ n ^ 2 }=2n+1\Rightarrow ({ u _ n }) $ không là CSC.
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{2}{5} $ . Dãy $ ({ u _ n }) $ là CSC có công sai $ d=\dfrac{2}{5} $.
Ta có: $ { u _{n+1}}-{ u _ n }=-\dfrac{1}{{}n(n+1)}\Rightarrow ({ u _ n }) $ không là cấp số cộng.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới