Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tổng, hiêu, hiệu 2 bình phương)

Ta có

$ \begin{array}{l} -4{{x}^{2}}{{y}^{3}}+{{x}^{4}}{{y}^{6}}+4 \\ ={{x}^{4}}{{y}^{6}}-4{{x}^{2}}{{y}^{3}}+4 \\ ={{\left( {{x}^{2}}{{y}^{3}} \right)}^{2}}-2.{{x}^{2}}{{y}^{3}}.2+{{2}^{2}} \\ ={{\left( {{x}^{2}}{{y}^{3}}-2 \right)}^{2}} \end{array} $

$ {{x}^{2}}+6x+9={{x}^{2}}+2.3.x+{{3}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}} $

$ \begin{array}{l} 3(x-y)(x+y)+\dfrac{1}{4}{{(x+y)}^{2}}+9{{(x-y)}^{2}} \\ ={{\left[ 3\left( x-y \right) \right]}^{2}}+2.3\left( x-y \right).\dfrac{x+y}{2}+{{\left( \dfrac{x+y}{2} \right)}^{2}} \\ ={{\left[ 3\left( x-y \right)+\dfrac{x+y}{2} \right]}^{2}} \\ =\dfrac{1}{4}{{\left( 7x-5y \right)}^{2}} \end{array} $

$ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}+6{{y}^{2}}-6\sqrt{2}xy \\ ={{\left( \sqrt{3}x \right)}^{2}}-2.\sqrt{3}x.\sqrt{6}y+{{\left( \sqrt{6}y \right)}^{2}} \\ ={{\left( \sqrt{3}x-\sqrt{6}y \right)}^{2}} \end{array} $

Ta có $ 4{{(x-3)}^{2}}-(2x-1)(2x+1)=10 $

$ \Leftrightarrow 4({{x}^{2}}-6x+9)-(4{{x}^{2}}-1)=10\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-24x+36-4{{x}^{2}}+1-10=0 $

$ \Leftrightarrow -24x+27=0\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{8} $ .

Vậy có một giá trị $ x $ thoả mãn.

Ta có $ C=\dfrac{{{(x+5)}^{2}}+{{(x-5)}^{2}}}{{{x}^{2}}+25}=\dfrac{{{x}^{2}}+2.x.5+{{5}^{2}}+{{x}^{2}}-2.x.5+{{5}^{2}}}{{{x}^{2}}+25}=\dfrac{{{x}^{2}}+10x+25+{{x}^{2}}-10x+25}{{{x}^{2}}+25} $

$ =\dfrac{2({{x}^{2}}+25)}{{{x}^{2}}+25}=2 $ .

$ D=\dfrac{{{(2x+5)}^{2}}+{{(5x-2)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{4{{x}^{2}}+2.2x.5+{{5}^{2}}+25{{x}^{2}}-2.5x.2+{{2}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{29{{x}^{2}}+29}{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{29({{x}^{2}}+1)}{{{x}^{2}}+1}=29 $

Vậy $ D=29;C=2 $ suy ra $ D=14C+1 $ (do $ 29=14.2+1 $ ).

$ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-x+\dfrac{1}{4}={{x}^{2}}-2.x.\dfrac{1}{2}+{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{2}} \\ ={{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \end{array} $

Diện tích của miếng tôn là $ {{\left( a+2b \right)}^{2}} $

Diện tích của miếng tôn phải cắt là $ {{\left( a2b \right)}^{2}}. $

Phần diện tích còn lại là $ {{\left( a+2b \right)}^{2}}-{{\left( a-2b \right)}^{2}} $

Ta có:

$ \begin{array}{l} {{\left( a+2b \right)}^{2}}-{{\left( a-2b \right)}^{2}} \\ ={{a}^{2}}+4ab+4{{b}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-4ab+4{{b}^{2}} \right) \end{array} $

$ \begin{array}{l} ={{a}^{2}}+4ab+4{{b}^{2}}-{{a}^{2}}+4ab-4{{b}^{2}} \\ =8ab \end{array} $

$ \begin{array}{l} 4{{x}^{2}}+9{{a}^{2}}+12xa \\ =4{{x}^{2}}+12xa+9{{a}^{2}} \\ ={{\left( 2x \right)}^{2}}+2.2x.3a+{{\left( 3a \right)}^{2}} \\ ={{\left( 2x+3a \right)}^{2}} \end{array} $

$ A=\left( 4{{x}^{2}}+4x+1 \right)+10={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}+10\ge 10 $

Suy ra $ minA=10 $ khi $ x=-\dfrac{1}{2} $

Vì $ a $ chia 5 dư 3 nên a có dạng: $ a=5k+3\left( k\in \mathbb{N} \right) $

Có

$ \begin{array}{l} {{a}^{2}}={{\left( 5k+3 \right)}^{2}} \\ =25{{k}^{2}}+30k+9 \\ =25{{k}^{2}}+30k+5+4 \end{array} $

Ta có $ 25{{k}^{2}}+30k+5\vdots 5\Rightarrow 25{{k}^{2}}+30k+5+4 $ chia 5 sẽ dư 4.

Ta có $ N=(2+1)({{2}^{2}}+1)({{2}^{4}}+1)({{2}^{8}}+1)({{2}^{16}}+1)=3({{2}^{2}}+1)({{2}^{4}}+1)({{2}^{8}}+1)({{2}^{16}}+1) $

$ =\text{ }\!\![\!\!\text{ }({{2}^{2}}-1)({{2}^{2}}+1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ (}{{\text{2}}^{4}}+1)({{2}^{8}}+1)({{2}^{16}}+1) $

$ =({{2}^{4}}-1)({{2}^{4}}+1)({{2}^{8}}+1)({{2}^{16}}+1)=({{2}^{8}}-1)({{2}^{8}}+1)({{2}^{16}}+1) $

$ =({{2}^{16}}-1)({{2}^{16}}+1)={{({{2}^{16}})}^{2}}-1={{2}^{32}}-1 $ nên $ M > N $ .

Ta có $ (x-6)(x+6)-{{(x+3)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{x}^{2}}-36-({{x}^{2}}+6x+9)=0 $

$ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-36-{{x}^{2}}-6x-9-9=0 $

$ \Leftrightarrow -6x-54=0\Leftrightarrow 6x=-54\Leftrightarrow x=-9 $ .

Vậy $ x=-9 $ .

Ta có $ P=-4{{x}^{2}}+4x-2=-4{{x}^{2}}+4x-1-1=-(4{{x}^{2}}-4x+1)-1=-1-{{(2x-1)}^{2}} $

Nhận thấy $ -{{(2x-1)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow -1-{{(2x-1)}^{2}}\le -1,\forall x $ hay $ P\le -1 $ .