Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Lý thuyết về Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
1. Phương pháp nhóm hạng tử
– Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
– Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
– Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
2. Chú ý
– Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
– Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).
– Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.
– Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.
3. Ví dụ
\[\begin{array}{l}
a){x^2} - xy + x - y\\
= ({x^2} - xy) + (x - y)\\
= x(x - y) + (x - y)\\
= (x - y)(x + 1)
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
b)3{x^2} + 6xy + 3{y^2} - 3{z^2}\\
= 3\left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - {z^2}} \right]\\
= 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - {z^2}} \right]\\
= 3\left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right)
\end{array}\]
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Dạng nhân tử của biểu thức $ 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-3 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-3 \\ =\left( 2{{x}^{3}}+2x \right)-\left( 3{{x}^{2}}+3 \right) \\ =2x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-3\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ =\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 2x-3 \right) \end{array} $
Câu 2: Số giá trị của $ x $ thoả mãn $ {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18=0 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18=0\Leftrightarrow ({{x}^{3}}+2{{x}^{2}})-(9x+18)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x+2)-9(x+2)=0 $
$ \Leftrightarrow (x+2)({{x}^{2}}-9)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+2=0 \\ {{x}^{2}}-9=0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ {{x}^{2}}=9 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ x=3 \\ x=-3 \\ \end{matrix} \right. $ .
Vậy $ x=-2;x=3;x=-3 $ .
Câu 3: Cho $ 56{{x}^{2}}-45y-40xy+63x=(7x-5y)(mx+n) $ với $ m,n\in R $ . Giá trị của $ m $ và $ n $ lần lượt là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ 56{{x}^{2}}-45y-40xy+63x=(56{{x}^{2}}+63x)-(45y+40xy)=7x(8x+9)-5y(8x+9) $
$ =(8x+9)(7x-5y) $ .
Suy ra $ m=8,n=9 $ .
Câu 4: Với điều kiện nào của các tham số $ a,b,c $ để $ a{{x}^{2}}+b{{x}^{2}}-c{{x}^{2}}+ax+bx-cx=0 $ đúng với mọi giá trị x
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} a{{x}^{2}}+b{{x}^{2}}-c{{x}^{2}}+ax+bx-cx=0\left( * \right) \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( a+b-c \right)+x\left( a+b-c \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x \right)\left( a+b-c \right)=0 \\ \Leftrightarrow x\left( x+1 \right)\left( a+b-c \right)=0 \end{array} $
Vậy để $ \left( * \right) $ đúng với mọi giá trị của x thì $ a+b-c=0 $
Câu 5: Phân tích thành nhân tử đa thức $ x\left( {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right)+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+z\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} x\left( {{y}^{2}}-{{z}^{2}} \right)+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+z\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \\ =x{{y}^{2}}-x{{z}^{2}}+y{{z}^{2}}-y{{x}^{2}}+z{{x}^{2}}-z{{y}^{2}} \\ =\left( x{{y}^{2}}-z{{y}^{2}} \right)+\left( z{{x}^{2}}-x{{z}^{2}} \right)+\left( y{{z}^{2}}-y{{x}^{2}} \right) \\ ={{y}^{2}}\left( x-z \right)+xz\left( x-z \right)+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right) \\ ={{y}^{2}}\left( x-z \right)+xz\left( x-z \right)-y\left( x-z \right)\left( z+x \right) \\ =\left( x-z \right)\left( {{y}^{2}}+xz-yz-yx \right) \\ =\left( x-z \right)\left[ y\left( y-z \right)-x\left( y-z \right) \right] \\ =\left( x-z \right)\left( y-z \right)\left( y-x \right) \end{array} $
Câu 6: Phân tích thành nhân tử đa thức $ {{x}^{2}}-2xy-{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+2zt-{{t}^{2}} $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ {{x}^{2}}-2xy-{{z}^{2}}+{{y}^{2}}+2zt-{{t}^{2}} $
$ =\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( {{z}^{2}}-2zt+t \right)}^{2}} $
$ ={{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( z-t \right)}^{2}} $
$ =\left( x-y+z-t \right)\left( x-y-z+t \right) $
Câu 7: Đa thức $ {{x}^{2}}+x-2ax-2a $ được phân tích thành
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{2}}+x-2ax-2a=({{x}^{2}}+x)-(2ax+2a)=x(x+1)-2a(x+1) $
$ =(x-2a)(x+1) $ .
Câu 8: Phân tích thành nhân tử đa thức $ 3{{x}^{3}}-75x+6{{x}^{2}}-150 $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} 3{{x}^{3}}-75x+6{{x}^{2}}-150 \\ =\left( 3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}} \right)-\left( 75x+150 \right) \\ =3{{x}^{2}}\left( x+2 \right)-75\left( x+2 \right) \\ =3\left( {{x}^{2}}-25 \right)\left( x+2 \right) \\ =3\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)\left( x+2 \right) \end{array} $
Câu 9: Chọn câu sai.
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{3}}+a{{x}^{2}}+ay=({{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{3}})+(a{{x}^{2}}+ay)={{y}^{2}}({{x}^{2}}+y)+a({{x}^{2}}+y) $
$ =({{y}^{2}}+a)({{x}^{2}}+y) $ .
+ $ {{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+a-4=({{a}^{3}}-4{{a}^{2}})+(a-4)={{a}^{2}}(a-4)+(a-4)=(a-4)({{a}^{2}}+1) $ .
+ $ m{{x}^{2}}-nx-mx+n=(m{{x}^{2}}-nx)-(mx-n)=x(mx-n)-(mx-n)=(mx-n)(x-1) $ .
+ $ {{x}^{2}}-5y+x-5xy=({{x}^{2}}+x)-(5y+5xy)=x(x+1)-5y(x+1)=(x+1)(x-5y) $ .
Câu 10: Cho $ {{x}^{2}}+ax+x+a=(x+a).(...) $ . Biểu thức thích hợp vào dấu … là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{2}}+ax+x+a=({{x}^{2}}+x)+(ax+a)=x(x+1)+a(x+1)=(x+a)(x+1) $ .
Câu 11: Tổng các giá trị của x thỏa mãn $ 3{{x}^{5}}-10{{x}^{4}}+15{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+10x-15=0 $ là
- A
- B
- C
- D
$ \begin{array}{l} 3{{x}^{5}}-10{{x}^{4}}+15{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+10x-15=0 \\ \Leftrightarrow 3{{x}^{5}}-3{{x}^{2}}-10{{x}^{4}}+10x+15{{x}^{3}}-15=0 \\ \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)-10x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+15\left( {{x}^{3}}-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}-10x+15 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)=0\left( * \right) \end{array} $
Do
$ \begin{array}{l} 3{{x}^{2}}-10x+15 \\ =3\left( {{x}^{2}}-2.x.\dfrac{5}{3}+\dfrac{25}{9} \right)+\dfrac{20}{3} \\ =3{{\left( x-\dfrac{5}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{20}{3} > 0\forall x \end{array} $
Nên $ \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-1=0\Leftrightarrow x=1 $
Câu 12: Kết quả phân tích đa thức $ {{x}^{3}}-x+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-y $ thành nhân tử là
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} {{x}^{3}}-x+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}-y \\ =\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}} \right)-\left( y+x \right) \\ ={{\left( x+y \right)}^{3}}-\left( x+y \right) \\ =\left( x+y \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-1 \right] \\ =\left( x+y \right)\left( x+y-1 \right)\left( x+y+1 \right) \end{array} $
Câu 13: Giá trị của $ x $ thỏa mãn $ {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=0 $ là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}({{x}^{2}}+4x+4)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{(x+2)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} {{x}^{2}}=0 \\ {{(x+2)}^{2}}=0 \\ \end{matrix} \right. $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x+2=0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0 \\ x=-2 \\ \end{matrix} \right. \right. $ .
Vậy $ x=0;x=-2 $ .
Câu 14: Cho $ {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-2x-4y=(x+2y)(x-2y+m) $ với $ m\in R $ . Chọn câu đúng.
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-2x-4y=({{x}^{2}}-4{{y}^{2}})-(2x+4y)=(x-2y)(x+2y)-2(x+2y) $
$ =(x+2y)(x-2y-2) $ .
Suy ra $ m=-2 $ .
Câu 15: Chọn câu đúng.
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-9x+36=({{x}^{3}}-4{{x}^{2}})-(9x-36)={{x}^{2}}(x-4)-9(x-4)=({{x}^{2}}-9)(x-4) $
$ =(x-3)(x+3)(x-4) $ .
Câu 16: Phân tích thành nhân tử đa thức $ {{x}^{3}}+(a+b+c){{x}^{2}}+(ab+ac+bc)x+abc $ ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có
$ \begin{array}{l} {{x}^{3}}+(a+b+c){{x}^{2}}+(ab+ac+bc)x+abc \\ =\left( {{x}^{3}}+a{{x}^{2}} \right)+\left( b+c \right){{x}^{2}}+a\left( b+c \right)x+bcx+abc \\ ={{x}^{2}}\left( x+a \right)+\left( b+c \right)x\left( x+a \right)+bc\left( x+a \right) \\ =\left( x+a \right)\left[ {{x}^{2}}+\left( b+c \right)x+bc \right] \end{array} $
Câu 17: Phân tích đa thức $ {{a}^{4}}+{{a}^{3}}+{{a}^{3}}b+{{a}^{2}}b $ thành nhân tử ta được
- A
- B
- C
- D
Ta có $ {{a}^{4}}+{{a}^{3}}+{{a}^{3}}b+{{a}^{2}}b=({{a}^{4}}+{{a}^{3}})({{a}^{3}}b+{{a}^{2}}b)={{a}^{3}}(a+1)+{{a}^{2}}b(a+1)=(a+1)({{a}^{3}}+{{a}^{2}}b) $
$ ={{a}^{2}}(a+b)(a+1) $ .
Câu 18: Cho $ a{{b}^{3}}{{c}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}+a{{b}^{2}}{{c}^{3}}-{{a}^{2}}b{{c}^{3}}=ab{{c}^{2}}(b+c)(...) $ . Biểu thức thích hợp điền vào dấu … là
- A
- B
- C
- D
Ta có $ a{{b}^{3}}{{c}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}+a{{b}^{2}}{{c}^{3}}-{{a}^{2}}b{{c}^{3}}=ab{{c}^{2}}({{b}^{2}}-ab+bc-ac)=ab{{c}^{2}}[({{b}^{2}}-ab)+(bc-ac)] $
$ =ab{{c}^{2}}[b(b-a)+c(b-a)]=ab{{c}^{2}}(b+c)(b-a) $ .
Vậy ta cần điền $ b-a $ .
Câu 19: Kết quả của việc phân tích đa thức $ {{x}^{2}}-2x-{{y}^{2}}-2y $ thành nhân tử là
- A
- B
- C
- D
$ {{x}^{2}}-2x-{{y}^{2}}-2y $
$ =\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)-2\left( x+y \right) $
$ =\left( x+y \right)\left( x-y \right)-2\left( x+y \right) $
$ =\left( x+y \right)\left( x-y-2 \right) $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- Những hằng đẳng thức đáng nhớ ( lập phương của tổng, hiệu)
- Sự phát triển và phân bố lâm nghiệp và thủy sản
- Unit 4: Caring for Those in Need - Vocabulary - Hỗ trợ người khuyết tật
- Unit 8: Our World Heritage Sites - Grammar: Mệnh đề phân từ và mệnh đề sử dụng động từ nguyên thể có to