Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Phương pháp:

Bước 1. Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$là tiếp điểm và tính ${y}'={f}'\left( x \right)$.

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là $k=f'\left( {{x}_{0}} \right)$. Giải phương trình này tìm được ${{x}_{0}},$ thay vào hàm số được ${{y}_{0}}.$

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng.

$d:y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến \[d\text{ // }\Delta :y=ax+b\Rightarrow \]hệ số góc của tiếp tuyến là \[k=a.\]
• Tiếp tuyến \[d\bot \Delta :y=ax+b\Rightarrow \] hệ số góc của tiếp tuyến là \[k=-\frac{1}{a}\cdot \]
• Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \[\alpha \] thì hệ số góc của tiếp tuyến $d$ là \[k =  \pm \tan \alpha \]

Ví dụ: Cho hàm số \[\left( C \right):y={{x}^{3}}-3x+2\]. Viết phương trình tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9.

Hướng dẫn giải

Ta có \[{y}'=3{{x}^{2}}-3\], \[k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=9\] \[\Leftrightarrow 3{{x}_{0}}^{2}-3=9\] \[\Leftrightarrow {{x}_{0}}^{2}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm \,2\].

Với \[{{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=4\] ta có tiếp điểm \[M\left( 2;4 \right)\]. 

Phương trình tiếp tuyến tại \[M\] là: \[y=9\left( x-2 \right)+4\Rightarrow y=9x-14\].

Với \[{{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=0\] ta có tiếp điểm \[N\left( -2;0 \right)\].

Phương trình tiếp tuyến tại \[N\] là: \[y=9\left( x+2 \right)+0\Rightarrow y=9x+18\].

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \[y=9x-14\] và \[y=9x+18\]