Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với \[sin\] \[cos\]
Phương trình dạng:
a, \[a{{\sin }^{2}}x+b{{\cos }^{2}}x+c\sin x\cos x+d=0\] (1).
được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.
b, \[a{{\sin }^{3}}x+b{{\sin }^{2}}x\cos x+c\sin x{{\cos }^{2}}x+d{{\cos }^{3}}x=0\](2).
được gọi là phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin và cos.
Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x=0$ có phải nghiệm không.
Bước 2: Chia 2 vế cho ${{\cos }^{2}}x$ (đối với phương trình (1)) hoặc ${{\cos }^{3}}x$ (đối với phương trình (3)) sau đó đưa về phương trình của $\tan x$.
Ví dụ: Giải phương trình:
${{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x{{\cos }^{2}}x=3{{\cos }^{3}}x$ (1).
Giải:
Nhận thấy $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$ không thỏa mãn phương trình (1).
Chia 2 vế của (1) cho ${{\cos }^{3}}x$. Đặt \[\tan x=t\] ta được:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \text{ }\left( k\in Z \right)$.
Điều kiên: $\cos x\ne 0$
Phương trình $\Leftrightarrow \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 2x$
Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| t \right| \le \sqrt 2 \\
\sin 2x = {t^2} - 1
\end{array} \right.$
Ta có: $t=\sqrt{2}\left( {{t}^{2}}-1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{2}}-t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2},t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Từ đó tìm được: $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\dfrac{11\pi }{12}+k2\pi ,x=-\dfrac{5\pi }{12}+k2\pi $.