Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos

Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos

4/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos

Lý thuyết về Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos

Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với \[sin\] \[cos\]

Phương trình dạng:

a, \[a{{\sin }^{2}}x+b{{\cos }^{2}}x+c\sin x\cos x+d=0\] (1).

được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.

b, \[a{{\sin }^{3}}x+b{{\sin }^{2}}x\cos x+c\sin x{{\cos }^{2}}x+d{{\cos }^{3}}x=0\](2).

được gọi là phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin và cos.

Phương pháp:

Bước 1: Kiểm tra xem $\cos x=0$ có phải nghiệm không.

Bước 2: Chia 2 vế cho ${{\cos }^{2}}x$ (đối với phương trình (1)) hoặc ${{\cos }^{3}}x$ (đối với phương trình (3)) sau đó đưa về phương trình của $\tan x$.

Ví dụ: Giải phương trình:

${{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x{{\cos }^{2}}x=3{{\cos }^{3}}x$ (1).

Giải:

Nhận thấy $\cos x=0\Rightarrow \sin x=\pm 1$ không thỏa mãn phương trình (1).

Chia 2 vế của (1) cho ${{\cos }^{3}}x$. Đặt \[\tan x=t\] ta được:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \text{ }\left( k\in Z \right)$.

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Có bao nhiêu điểm biểu diễn nghiệm phương trình $\sin 2x-4\left( \cos x-\sin x \right)-4=0$ trên đường tròn lượng giác

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
\(\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 4\left( {\cos x - \sin x} \right) - 4 = 0\\ t = \cos x - \sin x\\ \Rightarrow 1 - {t^2} - 4t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = - 3\left( L \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x - \sin x = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}\)

Câu 2: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình $1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x$ trên đường tròn lượng giác là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiên: $\cos x\ne 0$

Phương trình $\Leftrightarrow \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 2x$

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| t \right| \le \sqrt 2 \\
\sin 2x = {t^2} - 1
\end{array} \right.$

Ta có: $t=\sqrt{2}\left( {{t}^{2}}-1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{2}}-t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2},t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Từ đó tìm được: $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\dfrac{11\pi }{12}+k2\pi ,x=-\dfrac{5\pi }{12}+k2\pi $.