Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin cos
Phương trình dạng:
a, asin2x+bcos2x+csinxcosx+d=0 (1).
được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.
b, asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x=0(2).
được gọi là phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sin và cos.
Phương pháp:
Bước 1: Kiểm tra xem cosx=0 có phải nghiệm không.
Bước 2: Chia 2 vế cho cos2x (đối với phương trình (1)) hoặc cos3x (đối với phương trình (3)) sau đó đưa về phương trình của tanx.
Ví dụ: Giải phương trình:
sin3x+sin2xcosx+sinxcos2x=3cos3x (1).
Giải:
Nhận thấy cosx=0⇒sinx=±1 không thỏa mãn phương trình (1).
Chia 2 vế của (1) cho cos3x. Đặt tanx=t ta được:
(1)⇔t3+t2+t−3=0⇔t=1⇔tanx=1⇔x=π4+kπ(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm x=π4+kπ (k∈Z).
Điều kiên: cosx≠0
Phương trình ⇔sinx+cosx=√2sin2x
Đặt t=sinx+cosx=√2cos(x−π4)⇒{|t|≤√2sin2x=t2−1
Ta có: t=√2(t2−1)⇔√2t2−t−√2=0⇔t=√2,t=−1√2
Từ đó tìm được: x=π4+k2π,x=11π12+k2π,x=−5π12+k2π.