Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương trình tương đương $1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=1-2{{\sin }^{2}}2x$$\Leftrightarrow \sin 2x=0$ $\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Các nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm trên vòng tròn lượng giác

$2({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)-\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-2x \right)=0$
$\Leftrightarrow 2(1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x)-\sin 2x=0$
$\Leftrightarrow 2-{{\sin }^{2}}2x-\sin 2x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin 2x=1 \\ \sin 2x=2 \\ \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Các nghiệm nằm trong đoạn $\left[ 0;3\pi \right]$là $\dfrac{\pi }{4},\dfrac{5\pi }{4},\dfrac{9\pi }{4}$
Vậy tổng các nghiệm là $\dfrac{15\pi }{4}$

Ta có 
\[\begin{array}{l}
x \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le \sin x \le 1\\
PT \Leftrightarrow \left( {5\sin x + 1} \right)\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x =  - \dfrac{1}{5}\left( L \right)\\
\sin x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi 
\end{array}\]
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}$ là nghiệm phương trình.

Do $\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ nên phương trình $ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 2x=\dfrac{\pi }{2}-x+k2\pi \\ & 2x=-\dfrac{\pi }{2}+x+k2\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{\pi }{6}+k\dfrac{2\pi }{3} \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \end{array} \right. $ , $ k\in \mathbb{Z} $ .

Vậy có 3 điểm biểu diễn nghiệm.

${PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$.

$\begin{gathered}   \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  \frac{\pi }{4} - 3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi  \hfill \\  \frac{\pi }{4} - 3x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  x =  - \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\  x =  - \frac{\pi }{6} - \frac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \hfill \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered}   \Rightarrow 0 <  - \frac{{2k}}{3} < 1 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} < k < 0 \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\   \Rightarrow 0 <  - \frac{1}{6} - \frac{{2k}}{3} < 1 \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} $

Điều kiện: $ cos5x\ne 0. $ Khi đó, phương trình đã cho $ \Leftrightarrow cos3x.\dfrac{\sin 5x}{cos5x}=\sin 7x $ $ \Leftrightarrow cos3x.\sin 5x=cos5x.\sin 7x $ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( \sin 8x+\sin 2x \right)=\dfrac{1}{2}\left( \sin 12x+\sin 2x \right) $ $ \Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & 12x=8x+k2\pi \\ & 12x=\pi -8x+k2\pi \end{array} \right.. $

Đk $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $
\(PT \Leftrightarrow \left( {\tan x - \sqrt 3 } \right)\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \tan x = 1 = \tan \dfrac{\pi }{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)
$\Rightarrow \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{4}\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow $ tổng các nghiệm cần tìm là $\dfrac{7\pi }{12}$

PT $ \Leftrightarrow \left( 2\cos +1 \right)\left( \cos x+2 \right)=0\Leftrightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right). $

$ x\in \left( 0;3\pi \right)\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} & 0 < \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi < 3\pi \\ & 0 < -\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi < 3\pi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & -\dfrac{1}{3} < k < \dfrac{7}{6}\Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\} \\ & \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{11}{6}\Rightarrow k=1 \end{array} \right.. $

$PT\Leftrightarrow \left( 5\operatorname{s}{inx}+1 \right)\left( \operatorname{s}{inx}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \operatorname{s}{inx}=-\dfrac{1}{5}\left( L \right) \\ & \operatorname{s}{inx}=1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $
$\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{2}$

$\begin{array}{*{20}{l}} {PT \Leftrightarrow 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = \sin x + 2{{\sin }^2}x} \\ { \Leftrightarrow 2{{\sin }^2}x - \sin x - 1 = 0} \\ { \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 1} \\ {\sin x = - \frac{1}{2} = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi } \\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}} \right.} \end{array}$

Ta có $PT\Leftrightarrow \left( {{\cos }^{2}}2x-\dfrac{1}{4} \right)\left( {{\cos }^{2}}2x+\dfrac{25}{4} \right)=0 $

$\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \cos x = \dfrac{5}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \end{array}$

Điều kiện:$x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,x\ne k\pi $
$\begin{align}
8{{\cos }^{2}}x=\dfrac{\sin x\sqrt{3}}{\cos x}-1 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{8}{1+{{\tan }^{2}}x}=\sqrt{3}\tan x-1 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3}\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)-1-{{\tan }^{2}}x-8=0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3}{{\tan }^{3}}x-{{\tan }^{2}}x+\sqrt{3}\tan x-9=0 \\
& \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3} \\
& \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\
\end{align}$

Điều kiện \[\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{k\pi }{2}\,\,\,\,\,\,,\,k\in \mathbb{Z}\] Ta có:\[\begin{array}{l} PT \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x = \dfrac{2}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow \cos 2x + 2{\sin ^2}2x = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 2x = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\left( * \right) \end{array}\]