Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi.

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng

• A. $\Large \dfrac{2\sqrt{3}}{27}$
• B. $\Large \dfrac{4\sqrt{3}}{27}$
• C. $\Large \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
• D. $\Large \dfrac{4\sqrt{3}}{9}$

Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AC, BD

Ta có $\Large \left\{\begin{align}&BI\perp AC\\&DI\perp AC\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow AC\perp (IBD)$ và $\Large V_{IBCD}=V_{IABD}$

Đặt $\Large AC = BD =x$. Ta có $\Large BI=\sqrt{AB^{2}-AI^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{4}}$

Và $\Large IH=\sqrt{IB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{4}}=\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{2}}$

Diện tích tam giác IBD là $\Large S_{IBD}=\dfrac{1}{2}IH.BD=\dfrac{x}{2}\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{2}}$ với $\Large 0 < x < \sqrt{2}$

Suy ra $\Large V_{ABCD}=2V_{IBCD}=\dfrac{2}{3}IC.S_{IBD}=\dfrac{x}{3}.\dfrac{x}{2}\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{2}}=\dfrac{x^{2}}{6}\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{2}}$

Xét hàm số $\Large f(x)=x^{2}\sqrt{2-x^{2}}(0 < x < \sqrt{2})$ với $\Large f'(x)=\dfrac{x(4-3x^{2})}{\sqrt{2-x^{2}}}=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Bảng biến thiên

Ta có $\Large \underset{(0;\sqrt{2})}{max}f(x)=\dfrac{4\sqrt{6}}{9}$

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất là $\Large \underset{(0;\sqrt{2})}{max}V=\dfrac{4\sqrt{6}}{9}:(6\sqrt{2})=\dfrac{2\sqrt{3}}{27}$