Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\Large \log_{\sqrt{3}}\dfrac{x+y}

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\Large \log_{\sqrt{3}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$. Tìm giá trị $\Large P_{\max}$ của biểu thức $\Large P=\dfrac{5x+4y+4}{x+y+3}$

• A.

  A. $\Large P_{\max}=0$

• B.

  B. $\Large P_{\max}=2$

• C.

  C. $\Large P_{\max}=1$

• D.

  D. $\Large P_{\max}=3$

Chọn D

$\Large \log_{\sqrt{3}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$ (1)

$\Large  \Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}}(x+y)-\log_{\sqrt{3}}(x^2+y^2+xy+2)=x^2-3x+y^2-3y+xy$

$\Large \Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}}(x+y)+3x+3y=\log_{\sqrt{3}}(x^2+y^2+xy+2)+x^2+y^2+xy$

$\Large\Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}}(x+y)+2+3x+3y=\log_{\sqrt{3}}(x^2+y^2+xy+2)+x^2+y^2+xy+2$

$\Large\Leftrightarrow \log_{\sqrt{3}}(3x+3y)+3x+3y=\log_{\sqrt{3}}(x^2+y^2+xy+2)+x^2+y^2+xy+2 (2)$

Đặt $\Large f(t)=\log_{\sqrt{3}}t+t, t>0 \Rightarrow f'(t)=\dfrac{1}{t\ln{\sqrt{3}}}+1>0, \forall t>0$

$\Large \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$

$\Large \begin{align}&(2)\Leftrightarrow f(3x+3y)=f(x^2+y^2+xy+2)\Leftrightarrow 3x+3y=x^2+y^2+xy+2\\&\Leftrightarrow 4x^2+4y^2+4xy-12x-12y+8=0\\&\Leftrightarrow (2x+y)^2-6(2x+y)+5=-3(y-1)^2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq 2x+y\leq 5\end{align}$

Khi đó, $\Large P=\dfrac{5x+4y+4}{x+y+3}=3+\dfrac{2x+y-5}{x+y+3}\leq 3$, vì $\Large \left\{\begin{align}&2x+y-5\leq 0\\&x+y+3>0\\\end{align}\right.$

Vậy $\Large P_{\max}=3$ khi và chỉ khi $\Large \left\{\begin{align}&2x+y-5=0\\&y-1=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x=2\\&y=1\\\end{align}\right.$