Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau có n

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm $\Large m\log_{3-\sqrt{4-x}}3\geq x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}$

• A.

  A. $\Large m\geq 12$

• B.

  B. $\Large m>0$

• C.

  C. $\Large 0\leq m\leq 12$

   
• D.

  D. $\Large m\leq 12$

Chọn B

Điều kiện: $\Large \left\{\begin{align}&3-\sqrt{4-x}>0\\&3-\sqrt{4-x}\neq1\\&x\geq0\\&x+12\geq0\\&4-x\geq0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow 0

Nhận xét $\Large 3-\sqrt{4-x}>3-\sqrt{4-0}=1\Rightarrow \log_{3-\sqrt{4-x}}3>\log_{3-\sqrt{4-x}}1=0$

$\Large m\log_{3-\sqrt{4-x}}3\geq x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}\Leftrightarrow m\geq \dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}}{\log_{3-\sqrt{4-x}}3}\Leftrightarrow m\geq(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}).\log_{3}(3-\sqrt{4-x})$

Đặt $\Large \begin{align}&f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}).\log_{3}(3-\sqrt{4-x})\\&f'(x)=\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+12}}\right).\log_{3}(3-\sqrt{4-x})+(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}).\dfrac{1}{(3-\sqrt{4-x})\ln3.2\sqrt{4-x}}\end{align}$

Vì $\Large f'(x)>0, \forall x\in (0; 4)\Rightarrow f(x)$ tăng trên $\Large (0; 4]\Rightarrow $ tập giá trị của f (x) là $\Large (0; 12]$

Bất phương trình có nghiệm $\Large \Leftrightarrow m> 0$