Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\Large (x-3)^2+(y-1)^2=5$. Giá trị n

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\Large (x-3)^2+(y-1)^2=5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\dfrac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}$ là: 

• A.

  A. $\Large 2\sqrt{3}$

• B.

  B. $\Large \sqrt{3}$

• C.

  C. $\Large \dfrac{114}{11}$

• D.

  D. 3

Chọn D

Từ giả thiết ta có: $\Large x^2-6x+9+y^2-2y+1=5\Leftrightarrow 6x+2y=x^2+y^2+5$

$\Large P=\dfrac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}=\dfrac{3y^2+4xy+6x+2y+x+2y-1}{x+2y+1}$

$\Large P=\dfrac{x^2+4y^2+4xy+x+2y+4}{x+2y+1}=\dfrac{x(x+2y+1)+2y(x+2y+1)+4}{x+2y+1}=x+2y+\dfrac{4}{x+2y+1}$

Đặt $\Large t=x+2y\Rightarrow P=t+\dfrac{4}{t+1}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: $\Large \left[(x-3)+2(y-1)\right]^2\leq(1^2+2^2)\left[(x-3)^2+(y-1)^2\right]=25$

$\Large \Rightarrow -5\leq (x-3)+2(y-1)\leq 5\Rightarrow -5\leq x+2y-5\leq 5\Leftrightarrow 0\leq t\leq 10$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $\Large t+1+\dfrac{4}{t+1}\geq4\Leftrightarrow P\geq3$. Dấu bằng xảy ra $\Large \Leftrightarrow t+1=\dfrac{4}{t+1}\Leftrightarrow t=1$

Khi đó: $\Large \left[\begin{align}&x+2y=1\\&(x-3)^2+(y-1)^2=5\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&\left\{\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\\&\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{17}{5}\\y=-\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\\\end{align}\right.$