Xét các bộ số thực $\Large a, b$ thỏa mãn điều kiện $\Large a>b>1 $. T

Xét các bộ số thực $\Large a, b$ thỏa mãn điều kiện $\Large a>b>1 $. Tìm giá trị nhỏ nhất $\Large P_{\min}$ của biểu thức $\Large P=\log_{\dfrac{a}{b}}^2(a^2)+3\log_{b}\left(\dfrac{a}{b} \right )$

 

• A.

  A. $\Large P_{\min}=19$

• B.

  B. $\Large P_{\min}=13$

• C.

  C. $\Large P_{\min}=14$

• D.

  D. $\Large P_{\min}=15$

Chọn D

Ta có: $\Large \log_{\dfrac{a}{b}}^2(a^2)=4\left(\log_{\dfrac{a}{b}}a\right)^2=\dfrac{4}{\left(\log_{a}\dfrac{a}{b}\right)^2}=\dfrac{4}{(\log_{a}a-\log_{a}b)^2}=\dfrac{4}{(1-\log_{a}b)^2}$

Khi đó biểu thức $\Large P=\dfrac{4}{(1-\log_{a}b)^2}+3\log_{b}a-3=\dfrac{4}{(1-\log_{a}b)^2}+\dfrac{3}{\log_{a}b}-3$

Đặt $\Large t=\log_{a}b$ với $\Large a>b>1\Rightarrow 1>t>0$ suy ra $\Large P=f(t)=\dfrac{4}{(1-t)^2}+\dfrac{3}{t}-3$

Xét hàm số $\Large f (t)$ trên $\Large (0; 1)$ có $\Large f'(t)=-\dfrac{8}{(t-1)^3}-\dfrac{3}{t^2}, f'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$

Tính $\Large f\left(\dfrac{1}{3}\right)=15, lim_{t\rightarrow 1}f(t)=+\infty$ và $\Large lim_{t\rightarrow 0}f(t)=+\infty$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $\Large f(t)$ là 15

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\Large P_{\min}=15$