Cho $\Large a, b$ là hai số thực dương thỏa mãn $\Large b^2=3ab+4a^2$

Cho $\Large a, b$ là hai số thực dương thỏa mãn $\Large b^2=3ab+4a^2$ và $\Large a\in [4; 2^{32}]$. Gọi $\Large M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P=\log_{\dfrac{b}{8}}4a+\dfrac{3}{4}\log_{2}\dfrac{b}{4}$. Tính tổng $\Large T=M+m$

• A.

  A. $\Large T=\dfrac{3701}{124}$

• B.

  B. $\Large T=\dfrac{7}{2}$

• C.

  C.$\Large T=\dfrac{2957}{124}$

• D.

  D. $\Large T=\dfrac{1897}{62}$

Chọn A

Từ giả thiết ta có: $\Large b^2=3ab+4a^2\Leftrightarrow 4\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+3\dfrac{a}{b}-1=0\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{4} (a, b>0)\Leftrightarrow b=4a$

Khi đó: $\Large P=\log_{\dfrac{b}{8}}4a+\dfrac{3}{4}\log_{2}\dfrac{b}{4}=\log_{\dfrac{b}{8}}b+\dfrac{3}{4}(\log_{2}b-\log_{2}4)=\dfrac{1}{\log_{b}\dfrac{b}{8}}+\dfrac{3}{4}\log_{2}b-\dfrac{3}{2}$

$\Large =\dfrac{1}{1-\log_{b}8}+\dfrac{3}{4}\log_{2}b-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{\log_{2}b}}+\dfrac{3}{4}\log_{2}b-\dfrac{3}{2}=\dfrac{\log_{2}b}{\log_{2}b-3}+\dfrac{3}{4}\log_{2}b-\dfrac{3}{2}$

Đặt $\Large t=\log_{2}b$ với $\Large a\in [4; 2^{32}]\Rightarrow 16\leq b\leq 2^{34}\Rightarrow 4\leq \log_{2}b\leq 34 \Rightarrow t\in [4; 34]$

Xét hàm số $\Large f(t)=\dfrac{t}{t-3}+\dfrac{3}{4}t$ với $\Large t\in [4; 34]$ ta có $\Large f'(t)=\dfrac{3(t^2-6t+5)}{4(t-3)^2}, \forall t\in [4; 34]$

Phương trình 

$\Large f'(t)=0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&4\leq t\leq 34\\&t^2-6t+5=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow t=5\Rightarrow f(4)=7, f(5)=\dfrac{25}{4}, f(34)=\dfrac{1649}{62}$

Suy ra: $\Large \left\{\begin{align}&max_{[4; 34]}f(t)=f(34)=\dfrac{1649}{62}\\&min_{[4; 34]}f(t)=f(5)=\dfrac{25}{4}\\\end{align}\right.$ $\Large \left\{\begin{align}&M=P_{\max}=\dfrac{778}{31}\\&m=P_{\min}=\dfrac{19}{4}\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow T=M+m=\dfrac{3701}{124}$