Cho $\Large x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $\Large 5+16.4^{x^2-2y

Cho $\Large x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $\Large 5+16.4^{x^2-2y}=(5+16^{x^2-2y}). 7^{2y-x^2+2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\Large P_{\min}$ của biểu thức $\Large P=\dfrac{2xy+16}{x}$

• A.

  A. $\Large P_{\min}=16$

• B.

  B. $\Large P_{\min}=8$

• C.

  C. $\Large P_{\min}=12$

• D.

  D. $\Large P_{\min}=10$

Chọn D

Đặt $\Large t=x^2-2y$, khi đó giả thiết $\Large \Leftrightarrow 5+16.4^t=(5+16^t).7^{2-t}\Leftrightarrow \dfrac{5+4^{t+2}}{7^{t+2}}=\dfrac{5+4^{2t}}{7^{2t}}$

Xét hàm số $\Large f(a)=\dfrac{5+4^a}{7^a}=5.\left(\dfrac{1}{7}\right)^a+\left(\dfrac{4}{7}\right)^a$, có

$\Large f'(a)=5.\left(\dfrac{1}{7}\right)^a.\ln\left(\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{4}{7}\right)^a.\ln\left(\dfrac{4}{7}\right)<0, \forall a\in\mathbb{R}$

Suy ra, $\Large f(a)$ là hàm số nghịch biến trên $\Large \mathbb{R}$ mà $\Large f(t+2)=f(2t)\Leftrightarrow t+2=2t\Leftrightarrow t=2$

Do đó: $\Large x^2-2y=2\Leftrightarrow 2y=x^2-2\Rightarrow P=\dfrac{x(x^2-2)+16}{x}=x^2+\dfrac{16}{x}-2=g(x)$

Xét hàm số $\Large g(x)=x^2+\dfrac{16}{x}-2$ trên khoảng $\Large (0; +\infty)$, có

$\Large g'(x)=2x-\dfrac{16}{x^2}, g'(x)=0\Leftrightarrow x=2$

Tính $\Large g(2)=10, lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=+\infty$ và $\Large lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$

suy ra $\Large min_{(0; +\infty)}g(x)=g(2)=10$