Xét các số thực dương $\Large x, y$ thỏa mãn điều kiện $\Large \log_{3

Xét các số thực dương $\Large x, y$ thỏa mãn điều kiện $\Large \log_{3}\dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $\Large P_{\min}$ của $\Large P=x+y$

• A.

  A. $\Large P_{\min}=\dfrac{9\sqrt{11}-19}{9}$

• B.

  B. $\Large P_{\min}=\dfrac{9\sqrt{11}+19}{9}$

• C.

  C. $\Large P_{\min}=\dfrac{18\sqrt{11}-29}{21}$

• D.

  D. $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{11}-3}{3}$

Chọn D

Ta có: 

$\Large \log_{3}\dfrac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\Leftrightarrow \log_{3}(1-xy)-\log_{3}(x+2y)=3xy+x+2y-4$

$\Large \Leftrightarrow 3-3xy+\log_{3}(3-3xy)=x+2y+\log_{3}(x+2y)$

Xét hàm số $\Large f(t)=t+\log_{3}t$ trên khoảng $\Large (0; +\infty)$ có $\Large f'(t)=1+\dfrac{1}{t.\ln3 }>0, \forall t>0$

Suy ra hàm số $\Large f(t)$ đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$

Mà $\Large f(3-3xy)=f(x+2y)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y\Leftrightarrow y=\dfrac{3-x}{3x+2}$

Khi đó, biểu thức $\Large P=x+y=x+\dfrac{3-x}{3x+2}=\dfrac{3x^2+x+3}{3x+2}\Rightarrow f(x)=\dfrac{3x^2+x+3}{3x+2}$

Xét hàm số $\Large f(x)$ trên khoảng $\Large (0; +\infty)$, có $\Large f'(x)=\dfrac{9x^2+12x-7}{(3x+2)^2}, \forall x>0$

Phương trình $\Large f'(x)=0$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x>0\\&9x^2+12x-7=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{11}-2}{3}$

Tính $\Large f\left(\dfrac{\sqrt{11}-2}{3}\right)=\dfrac{2\sqrt{11}-3}{3}, f(0)=\dfrac{3}{2}$ và $\Large lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\Rightarrow min_{(0; +\infty)}f(x)=\dfrac{2\sqrt{11}-3}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large P$ là $\Large P_{\min}=\dfrac{2\sqrt{11}-3}{3}$