Xác định $\Large n$ biết rằng hệ số của $\Large x^n$ trong khai triển

Xác định $\Large n$ biết rằng hệ số của $\Large x^n$ trong khai triển $\Large (1+x+2x^2+...+nx^n)^2$ bằng $\Large 6n$.

• A.

  $\Large n=8$.

• B.

  $\Large n=6$.

• C.

  $\Large n=10$.

• D.

  $\Large n=5$.

Chọn D
Ta có:

$\Large (1+x+2x^2+...+nx^n)^2$ $\Large =\big(1+x+2x^2+...+(n-1)x^{n-1}+nx^n\big)\big(nx^n+(n-1)x^{n-1}+...+2x^2+x+1\big)$

Suy ra hệ số của $\Large x^n$ là:

$\Large n+1.(n-1)+2.(n-2)+...+(n-2).2+(n-1).1+n$

$\Large =n+1.(n-1)+2.(n-2)+...+(n-2).\big[n-(n-2)\big]+(n-1).\big[n-(n-1)\big]+n$

$\Large =2n+1.n+2.n+...+(n-1).n+n.n-\big(1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2\big)$

$\Large =2n+n(1+2+...+n)-\big(1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2\big)$

$\Large =2n+n.\dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{n^3+11n}{6}$

Vậy $\Large \dfrac{n^3+11n}{6}=6n$ $\Large \Leftrightarrow n^3+11n=36n$ $\Large \Rightarrow n=5$ (Vì $\Large n\in \mathbb{N^*}$).