Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trụ

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $\Large Ox$ tại các điểm có hoành độ $\Large x=1$ và $\Large x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $\Large Ox$ tại điểm có hoành độ $\Large x$ thuộc đoạn [1; 3] thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $\Large 3x$ và $\Large \sqrt{3x^2-2}$.

• A.

  $\Large 32+2\sqrt{15}$.

• B.

  $\Large (32+2\sqrt{15})\pi$.

• C.

  $\Large \dfrac{124}{3}$.

• D.

  $\Large \dfrac{124}{3}\pi$.

Chọn C

Ta có diện tích của thiết diện là $\Large S(x)=3x.\sqrt{3x^2-2}$.

Thể tích của vật thể $\Large T$ là $\Large V=\int\limits_1^3 S(x)\mathrm{d}x=\int\limits_1^3 3x.\sqrt{3x^2-2}$.

$\Large =\dfrac{1}{2}\int\limits_1^3\sqrt{3x^2-2}\mathrm{d}(3x^2-2)$ $\Large =\dfrac{1}{3}(3x^2-2)^{\frac{3}{2}}\Bigg|_1^3=\dfrac{124}{3}$.