Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho mặt cầu $\Large (S)$

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$ cho mặt cầu $\Large (S)$ tâm $\Large I(2; -1; -2)$ và đi qua gốc tọa độ $\Large O$. Gọi $\Large d_1, d_2, d_3$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua $\Large O$ và cắt mặt cầu $\Large (S)$ tại điểm thứ hai là $\Large A, B, C$. Khi thể tích của tứ diện $\Large OABC$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng $\Large (ABC)$ đi qua điểm nào sau đây?

• A. $\Large P(1; -2; -6)$.
• B. $\Large Q(2; -3; 5)$.
• C. $\Large F(1; -2; -8)$.
• D. $\Large E(-1; 2; -8)$.

Chọn D

$\Large (S)$ tâm $\Large I(2; -1; -2)$ qua $\Large O$ $\Large \Rightarrow R_{(S)}=IA=IB=IC=IO=3=R$

Đặt $\Large IM=x\Rightarrow AM=BM=CM=\sqrt{R^2-x^2}$

$\Large \Rightarrow V_{OABC}=\dfrac{1}{3}.OM.S_{\Delta ABC}\leq \dfrac{1}{3}(R+x)\dfrac{(R^2-x^2)\sqrt{3}}{4}$ ($\Large \Delta ABC$ đều)

Mà $\Large (R+x)(R^2-x^2)=(R+x)^2(R-x)$

$\Large =4\left(\dfrac{R+x}{2}\right)\left(\dfrac{R+x}{2}\right)(R-x)\leq 4\dfrac{\left(\dfrac{R+x}{2}+\dfrac{R+x}{2}+R-x\right)^3}{27}=\dfrac{32R^3}{27}$

$\Large V_{OABC \max}\Leftrightarrow \dfrac{R+x}{2}=R-x$ $\Large \Leftrightarrow 3+x=6-2x\Rightarrow x=1\Rightarrow OM=4$

$\Large \Rightarrow (ABC)$ qua $\Large M$ có $\Large \overrightarrow{n_{(ABC)}}=\overrightarrow{OM}(OM\perp (ABC))$

$\Large (OM): \left\{\begin{align} & x=2t\\ & y=-t\\ & z=-2t\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow M(2t; -t; -2t)$ $\Large \Rightarrow OM^2 = 9t^2=16$ $\Large \Rightarrow t=\pm \dfrac{4}{3}$

$\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & M\left(\dfrac{8}{3}; -\dfrac{4}{3}; -\dfrac{8}{3}\right)\\ & M\left(-\dfrac{8}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{8}{3}\right)\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & (ABC): 2x-y-2z-12=0\\ & (ABC): 2x-y-2z+12=0\end{align}\right.$ 

Thay $\Large E(-1; 2; -8)$ vào phương trình mặt phẳng $\Large (ABC)$ ta thấy thỏa mãn phương trình. Suy ra khi thể tích của tứ diện $\Large OABC$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng $\Large (ABC)$ đi qua điểm $\Large E(-1; 2; -8)$.