Cho hàm số $\Large y=f(x).$ Hàm số $\Large y={f}'(x)$ có đồ thị như hì

Cho hàm số $\Large y=f(x).$ Hàm số $\Large y={f}'(x)$ có đồ thị như hình bên. Biết $\Large f(-1)=1; f\left(-\dfrac{1}{e}\right)=2.$ Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình $\Large f(x) < \mathrm{ln} (-x)+m$ nghiệm đúng với mọi $\Large x \in \left(-1; \dfrac{-1}{e}\right).$

• A. $\Large m \geq 2.$
• B. $\Large m \geq 3.$
• C. $\Large m > 2.$
• D. $\Large m > 3.$

Chọn B

Ta có $\Large f(x) < \mathrm{ln}(-x)+m \Leftrightarrow m > f(x)-\mathrm{ln}(-x).$

Xét hàm số $\Large g(x)=f(x)-\mathrm{ln}(-x)$ trên $\Large \left(-1; -\dfrac{1}{e}\right).$

Có $\Large {g}'(x)={f}'(x)-\dfrac{1}{x}.$

Trên $\Large \left(-1; -\dfrac{1}{e}\right)$ có $\Large {f}'(x) > 0$ và $\Large \dfrac{1}{x} < 0$ nên $\Large {g}'(x) > 0, \forall x \in \left(-1; -\dfrac{1}{e}\right)$

$\Large \Rightarrow$ hàm số $\Large g(x)$ đồng biến trên $\Large \left(-1; -\dfrac{1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m \geq g(x), \forall x \in \left(-1; -\dfrac{1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m \geq g\left(-\dfrac{1}{e}\right)$

$\Large \Leftrightarrow m \geq 3.$