Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy $\Large ABC$ là tam giác đều cạnh

Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy $\Large ABC$ là tam giác đều cạnh $\Large a,$ $\Large SA$ vuông góc với mặt phẳng $\Large (ABC);$ góc giữa đường thẳng $\Large SB$ và mặt phẳng $\Large (ABC)$ bằng $\Large 60^{\circ}.$ Gọi $\Large M$ là trung điểm cạnh $\Large AB.$ Khoảng cách từ $\Large B$ đến $\Large (SMC)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$

• B.

  $\Large a\sqrt{3}.$

• C.

  $\Large a.$

• D.

  $\Large \dfrac{a}{2}.$

Chọn A

Ta có $\Large \big(SB,(ABC)\big)=\widehat{SBA}=60^{\circ} \Rightarrow SA=\tan 60^{\circ}.a=a\sqrt{3}.$

Vì M là trung điểm của AB $\Large \Rightarrow d\big(B, (SMC)\big)=d\big(A, (SMC)\big).$

Dựng AH vuông góc với SM tại H $\Large \Rightarrow d\big(A, (SMC)\big)=AH$ mà $\Large AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}.$

Xét tam giác vuông $\Large \Delta SAM$ ta có: $\Large \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{4}{a^2}=\dfrac{13}{3a^2} \Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$