Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A\left(

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A\left( 1;-1;3 \right)$ và hai đường thẳng:
$\Large {{d}_{1}}:\dfrac{x-4}{1}\,=\,\dfrac{y+2}{4}\,=\,\dfrac{z-1}{-2},\,\,{{d}_{2}}:\,\dfrac{x-2}{1}\,=\,\dfrac{y+1}{-1}\,=\,\dfrac{z-1}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Large d$ đi qua $\Large A$, vuông góc với đường thẳng $\Large {{d}_{1}}$ và cắt đường thẳng $\Large {{d}_{2}}$.

• A. $\Large \dfrac{x-1}{2}=\,\dfrac{y+1}{-1}\,=\,\dfrac{z-3}{-1}$.
• B. $\Large \dfrac{x-1}{6}=\,\dfrac{y+1}{1}\,=\,\dfrac{z-3}{5}$.
• C. $\Large \dfrac{x-1}{6}=\,\dfrac{y+1}{-4}\,=\,\dfrac{z-3}{-1}$.
• D. $\Large \dfrac{x-1}{2}=\,\dfrac{y+1}{1}\,=\,\dfrac{z-3}{3}$.

Ta có: $\Large {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=\left( 1;4;-2 \right)$

$\Large {{d}_{2}}:\dfrac{x-2}{1}\,=\,\dfrac{y+1}{-1}\,=\dfrac{z-1}{1}$ nên phương trình tham số của $\Large {{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix}& x=2+t \\ & y=-1-t \\ & z=1+t \\ \end{matrix} \right.\,\,\left( t\in \mathbb{R} \right)$

Gọi đường thẳng $\Large d$ cắt đường thẳng $\Large {{d}_{2}}$ tại $\Large M\left( 2+t;-1-t;1+t \right)$

Ta có: $\Large \overrightarrow{AM}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$

Đường thẳng $\Large d$ đi qua $\Large A;M$ nên vectơ chỉ phương $\Large {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 1+t;-t;t-2 \right)$

Theo đề bài $\Large d$ vuông góc $\Large {{d}_{1}}$ $\Large \Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}.{{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}=0$$\Large \Leftrightarrow 1.\left( 1+t \right)+4\left( -t \right)-2\left( t-2 \right)=0\Leftrightarrow t=1$

$\Large \Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$

Phương trình đường thẳng $\Large d$ đi qua $\Large A\left( 1;-1;3 \right)$ và có $\Large {{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;-1 \right)$ có dạng:

$\Large \dfrac{x-1}{2}\,=\,\dfrac{y+1}{-1}\,=\,\dfrac{z-3}{-1}$.