Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ trong $\Large \left

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ trong $\Large \left[ -2020;2020 \right]$ để phương trình $\Large \log \left( mx \right)=2\log \left( x+1 \right)$ có nghiệm duy nhất?

• A. $\Large 2020$.
• B. $\Large 4040$.
• C. $\Large 2021$.
• D. $\Large 4041$.

Chọn C

Phương trình đã cho tương đương với $\Large \left\{ \begin{matrix}& mx={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\ & x+1>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& {{x}^{2}}+x\left( 2-m \right)+1=0\,\,(1) \\ & x>-1 \\ \end{matrix} \right.$

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có nghiệm duy nhất trong $\Large \left( -1;+\infty  \right)$;

Trường hợp 1. (1) có nghiệm kép $\Large \Delta =0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}& m=0 \\ & m=4 \\ \end{matrix} \right.$.

Thử lại: $\Large m=0$ thì phương trình có nghiệm $\Large x=-1$, loại;

$m=4$ thì phương trình có nghiệm $\Large x=1$, thoả mãn;

Trường hợp 2. (1) có nghiệm là -1 $\Large \Leftrightarrow {{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( -1 \right)\left( 2-m \right)+1=0\Leftrightarrow m=0$.

Thử lại thấy không thoả mãn.

Trường hợp 3. (1) có 2 nghiệm là $\Large {{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ và $\Large {{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& \Delta >0 \\ & \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)<0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& {{m}^{2}}-4m>0 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1<0 \\ \end{matrix} \right.$$\Large \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}& \left[ \begin{matrix}& m>4 \\ & m<0 \\ \end{matrix} \right. \\ & 1+m-2+1<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<0$.

Vậy có 2021 giá trị nguyên của tham số $\Large m$.