Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large B(2

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large B(2;-1;-3), C(-6;-1;3)$. Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, hãy tìm điểm A(a;b;0), b > 0 sao cho góc A lớn nhất. Tính giá trị $\Large \dfrac{a+b}{\cos A}$

• A. $\Large 10$
• B. $\Large -20$
• C. $\Large 15$
• D. $\Large -\dfrac{\sqrt{31}}{3}$

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB

Gọi $\Large P=BM\cap CN$, ta có $\Large BM\perp CN$ nên $\Large BC^{2}=BP^{2}+CP^{2}$

Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có

$\Large BP^{2}=\left(\dfrac{2}{3}BM\right)^{2}=\dfrac{4}{9}\dfrac{2(BA^{2}+BC^{2})-AC^{2}}{4}, CP^{2}=\left(\dfrac{2}{3}CN\right)^{2}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{2(CA^{2}+CB^{2})-AB^{2}}{4}$

$\Large \Rightarrow BC^{2}=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}+4BC^{2}}{9}\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}=5BC^{2}$

Góc A lớn nhất $\Large \Leftrightarrow \cos A$ nhỏ nhất

Ta có $\Large \cos A=\dfrac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}=\dfrac{5(AB^{2}+AC^{2})-(AB^{2}+AC^{2})}{10.AB.AC}$

$\Large =\dfrac{2}{5}.\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{AB.AC}\geq \dfrac{2}{5}.\dfrac{2AB.AC}{AB.AC}=\dfrac{4}{5}$, dấu "=" xảy ra $\Large \Leftrightarrow AB = AC$

Ta có A(a;b;0), b > 0 và B(2;-1;-3), C(-6;-1;3)

$\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&\overrightarrow{AB}=(2-a;-1-b;-3)\Rightarrow AB^{2}=(2-a)^{2}+(b+1)^{2}+9\\&\overrightarrow{AC}=(-6-a;-1-b;3)\Rightarrow AC^{2}=(a+6)^{2}\\\end{align}\right.$

$\Large \Rightarrow (2-a)^{2}+(b+1)^{2}+9=(a+6)^{2}+(b+1)^{2}+9\Rightarrow 4-4a=12a+36\Rightarrow a=-2$

Ta có $\Large \overrightarrow{BC}=(-8;0;6)\Rightarrow BC^{2}=8^{2}+6^{2}=100$. Khi đó từ $\Large AB^{2}+AC^{2}=5BC^{2}$ và $\Large AB=AC$

$\Large \Rightarrow 2[(2-a)^{2}+(b+1)^{2}+9]=5.100 \Rightarrow 4^{2}+(b+1)^{2}+9=250$. Mà $\Large b > 0$ nên ta được b = 14

Vậy $\Large \dfrac{a+b}{\cos A}=\dfrac{-2+14}{\dfrac{4}{5}}=15$