Trong không gian $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(3;0;0), B(1;2;1)

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(3;0;0), B(1;2;1)$ và $\Large C(2;-1;2)$. Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vecto pháp tuyến $\Large (10;a;b)$. Tổng $\Large a+b$ là

• A. -2
• B. 2
• C. 1
• D. -2

Phân tích: Nội dung chính của câu hỏi này là tìm tọa độ tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện

Phương trình (OAB) là: $\Large -y+2z=0$

Phương trình (OAC) là: $\Large 2y+z=0$

Phương trình (OBC) là: $\Large x-z=0$

Phương trình (ABC) là: $\Large 5x+3y+4z-15=0$

Gọi $\Large I(a';b';c')$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC

Do đó:

I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: $\Large (a'-c') > 0$

I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c') > 0$

I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: $\Large (-b'+2c') > 0$

I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: $\Large (5a'+3b'+4c'-15) < 0$

Suy ra:

$\Large \left\{\begin{align}&d(I,(OAB))=d(I,(OAC))\\&d(I,(OAB))=d(I,(OBC))\\&d(I,(OAB))=d(I,(ABC))\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&\dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt{5}}\\&\dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|a'-c'|}{\sqrt{2}}\\&\dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt{2}}\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&|-b'+2c'|=|2b'+c'|\\&\sqrt{2}-b'+2c'=\sqrt{5}|a'-c'|\\&\sqrt{10}|-b'+2c'|=|5a'+3b'+4c'=15|\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&-b'+2c'=2b'+c'\\&\sqrt{2}(-b'+2c')=\sqrt{5}(a'-c')\\&\sqrt{10}(-b'+2c')=-(5a'+3b'+4c'-15)\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a'=\dfrac{3}{2}\\&b'=\dfrac{3\sqrt{10}-9}{2}\\&c'=\dfrac{9\sqrt{10}-27}{2}\\\end{align}\right.$

Suy ra $\Large I\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3\sqrt{10}-9}{2};\dfrac{3(3\sqrt{10}-9)}{2}\right), \overrightarrow{BI}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3\sqrt{10}-13}{2};\dfrac{9\sqrt{10}-29}{2}\right), \overrightarrow{BC}=(1;-3;1)$

$\Large [\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BC}]=\left(-50+15\sqrt{10};\dfrac{-30+9\sqrt{10}}{2};\dfrac{10-3\sqrt{10}}{2}\right)$ cùng phương với $\Large \overrightarrow{n}=(10;3;-1)$

Suy ra (BCI) có một VTPT là $\Large \overrightarrow{n}=(10;3;-1)=(10;a;b)$

Vậy $\Large a+b=2$