Biết rằng có n mặt phẳng có phương trình tương ứng là $\Large (P_1):x+

Biết rằng có n mặt phẳng có phương trình tương ứng là $\Large (P_1):x+a_iy+b_iz+c_i=0 (i=1;2;...;n)$ đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ $\Large Ox,Oy,Oz$ theo thứ tự A, B, C sao cho hình chóp $\Large O.ABC$ là hình chóp đều. Tính tổng $\Large S=a_1+a_2+..+a_n$

• A. $\Large S=3$
• B. $\Large S=1$
• C. $\Large S=-4$
• D. $\Large S=-1$

Gọi $\Large A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$, với $\Large abc \neq 0$, khi đó phương trình mặt phẳng $\Large (P)$ đi qua $\Large M(1;2;3)$ (nhưng không đi qua O) và cắt trục tọa độ $\Large Ox,Oy,Oz$ theo thứ tự tại A, B, C có dạng: $\Large \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{y}{c}=1$

Vì $\Large (P)$ đi qua $\Large M(1;2;3)$ nên $\Large \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1(1)$

Hình chóp $\Large O.ABC$ là hình chóp đều nên $\Large |a|=|b|=|c|=m > 0$

Ta có các khả năng sau:

$\Large \cdot a=b=c=m:$ thay vào (1) ta được $\Large \dfrac{6}{m}=1\Leftrightarrow m=6$, phương trình mặt phẳng $\Large (P_1)$ thỏa mãn đề bài là $\Large (P_1):x+y+z-6=0$. Như vậy $\Large a_1=1$

$\Large \cdot a=b=c=-m$: thay vào (1) ta được $\Large \dfrac{6}{-m}=1\Leftrightarrow m=-6$ (loại)

$\Large \cdot a = b = m;c=-m$: thay vào (1) ta được $\Large 0=1$ (vô lí)

$\Large \cdot a=b=-m;c=m$: thay vào (1) ta được $\Large 0=1$ (vô lí)

$\Large \cdot a=c=m;b=-m$: thay vào (1) ta được $\Large \dfrac{2}{m}=1\Leftrightarrow m=2$, phương trình mặt phẳng $\Large (P_2)$ thỏa mãn đề bài là $\Large (P_2):x-y+z-2=0$. Như vậy $\Large a_2=-1$

$\Large \cdot a=c=-m;b=m$ thay vào (1) ta được $\Large \dfrac{2}{-m}=1\Leftrightarrow m =-2$ (loại)

$\Large \cdot a=m;b=c=-m$: thay vào (1) ra được $\Large -\dfrac{4}{m}=a\Leftrightarrow m =-4$ (loại)

$\Large \cdot a=-m;b=c=m$: thay vào (1) ta được $\Large \dfrac{4}{m}=1\Leftrightarrow m=4$, phương trình mặt phẳng $\Large (P_3)$ thỏa mãn đề bài là $\Large (P_3):x-y-z+4=0$, như vậy $\Large a_3=-1$

Như vậy, chỉ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ta có: $\Large S=a_1+a_2+a_3=1+(-1)+(-1)=-1$