Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $\Large A(1; 2; 3), B(3; 3; 4)$ và

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $\Large A(1; 2; 3), B(3; 3; 4)$ và mặt phẳng $\Large (P): x+2y-z=0.$ Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (P). Tính độ dài đoạn thẳng A'B'.

 

• A.

  $\Large \dfrac{6}{\sqrt{2}}$

• B.

  $\Large \sqrt{3}.$

• C.

  $\Large \sqrt{6}.$

• D.

  $\Large \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Chọn D

Gọi $\Large d_1; d_2$ là hai đường thẳng lần lượt qua A, B và vuông góc với (P).

Khi đó $\Large d_1; d_2$ nhận $\Large \overrightarrow{n}=(1; 2; -1)$ là vectơ chỉ phương.

Nên phương trình đường thẳng là $\Large d_1: \left\{\begin{align} & x=1+t \\ & y=2+2t \\ & z=3-t \end{align}\right.$ và $\Large d_2: \left\{\begin{align} & x=3+{t}' \\ & y=3+2{t}' \\ & z=4-{t}' \end{align}\right.$

$\Large {A}'=d_1 \cap (P)$ nên tọa độ của A' là nghiệm của hệ

$\Large \left\{\begin{align} & x=1+t \\ & y=2+2t \\ & z=3-t \\ & x+2y-z=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=1+t \\ & y=2+2t \\ & z=3-t \\ & (t+1)+2(2+2t)-(3-t)=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & t=-\dfrac{1}{3} \\ & x=\dfrac{2}{3} \\ & y=\dfrac{4}{5} \\ & z=\dfrac{10}{3} \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow {A}'\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{10}{3}\right)$

$\Large {B}'=d_2 \cap (P)$ nên tọa độ của B' là nghiệm của hệ

$\Large \left\{\begin{align} & x=3+{t}' \\ & y=3+2{t}' \\ & z=4-{t}' \\ & x+2y-z=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=3+{t}' \\ & y=3+2{t}' \\ & z=4-{t}' \\ & ({t}'+3)+2(3+2{t}')-(4-{t}')=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & t=-\dfrac{5}{6} \\ & x=\dfrac{13}{6} \\ & y=\dfrac{4}{3} \\ & z=\dfrac{29}{6} \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow {B}' \left(\dfrac{13}{6}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{29}{6}\right)$

Khi đó $\Large \overrightarrow{{A}'{B}'}=\left(\dfrac{3}{2}; 0; \dfrac{3}{2}\right) \Rightarrow AB=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$