Trong không gian $\Large Oxyz$, gọi $\Large I\left( a;\,b;\,c \right)$

Trong không gian $\Large Oxyz$, gọi $\Large I\left( a;\,b;\,c \right)$ là tâm mặt cầu đi qua điểm $\Large A\left( 1;\,-1;\,4 \right)$ và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính $\Large P=a-b+c$.

• A. $\Large P=6$.
• B. $\Large P=0$.
• C. $\Large P=3$.
• D. $\Large P=9$.

Vì mặt cầu tâm $\Large I$ tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên $\Large d\left( I,\,\left( Oyz \right) \right)=d\left( I,\,\left( Ozx \right) \right)=d\left( I,\,\left( Oxy \right) \right)$ $\Large \Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|$ $\Large \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}& a=b=c \\ & a=b=-c \\ & a=-b=c \\ & a=-b=-c \\ \end{matrix} \right.$

Nhận thấy chỉ có trường hợp $\Large a=-b=c$ thì phương trình $\Large AI=d\left( I,\,\left( Oxy \right) \right)$ có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

Với $\Large a=-b=c$ thì $\Large I\left( a;\,-a;\,a \right)$

$\Large AI=d\left( I,\,\left( Oyx \right) \right)$$\Large \Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}={{a}^{2}}$ $\Large \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+9=0$ $\Large \Leftrightarrow a=3$

Khi đó $\Large P=a-b+c=9$.