Trong không gian $\Large Oxyz$, cho tam giác ABC có $\Large A(2;3;3)$,

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho tam giác ABC có $\Large A(2;3;3)$, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\Large \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc C là $\Large \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng AB có một vecto chỉ phương là

• A. $\Large \overrightarrow{u_3}=(2;1;-1)$
• B. $\Large \overrightarrow{u_2}=(1;-1;0)$
• C. $\Large \overrightarrow{u_4}=(0;1;-1)$
• D. $\Large \overrightarrow{u_1}=(1;2;1)$

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là $\Large CD: \left\{\begin{align}&x=2+2t\\&y=4-t\\&z=2-t\\\end{align}\right.$

Gọi $\Large C=(2+2t; 4-t;2-t)$, suy ra tọa độ trung điểm M của AC là $\Large M=\left(2+t;\dfrac{7-t}{2};\dfrac{5-t}{2}\right)$. Vì $\Large M\in BM$ nên:

$\Large \dfrac{(2+t)-3}{-1}=\dfrac{\left(\dfrac{7-t}{2}\right)-3}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{5-t}{2}\right)-2}{-1}\Leftrightarrow \dfrac{t-1}{-1}=\dfrac{1-t}{4}=\dfrac{1-t}{-2}\Rightarrow t =1$

Do đó $\Large C=(4;3;1)$

Phương trình mặt phẳng $\Large (P)$ đi qua A và vuông góc CD là:

$\Large 2(x-2)-1(y-3)-1(z-3)=0$ hay $\Large 2x-y-z+2=0$

Tọa độ giao điểm H của $\Large (P)$ và CD là nghiệm $\Large (x;y;z)$ của hệ

$\Large \left\{\begin{align}&x=2+2t\\&y=4-t\\&z=2-t\\&2x-y-z+2=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&x=2+2t\\&y=4-t\\&z=2-t\\&2(2+2t)-(4-t)-(2-t)+2=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&x=2\\&y=4\\&z=2\\&t=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow H(2;4;2)$

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD, suy ra H là trung điểm AA', bởi vậy:

$\Large \left\{\begin{align}&x_A'=2x_H-x_A=2.2-2=2\\&y_A'=2y_H-y_A=2.4-3=5\\&x_A'=2z_H-z_A=2.2-3=1\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow A'(2;5;1)$

Do $\Large A'\in BC$ nên đường thẳng BC có vecto chỉ phương là $\Large \overrightarrow{CA'}=(-2;2;0)=2(-1;1;0)$ nên phương trình đường thẳng BC là $\Large \left\{\begin{align}&x=4-t\\&y=3+t\\&z=1\\\end{align}\right.$

Vì $\Large B=BM \cap BC$ nên tọa độ B là nghiệm (x;y;z) của hệ 

$\Large \left\{\begin{align}&x=4-t\\&y=3+t\\&z=1\\&\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=1\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x=2\\&y=5\\&z=1\\&t=2\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow B(2;5;1)\equiv A'$

Đường thẳng AB có một vecto chỉ phương là $\Large \overrightarrow{AB}=(0;2;-2)=2(0;1;-1)$; hay $\Large \overrightarrow{u_4}=(0;1;-1)$ là một vecto chỉ phương đường thẳng AB