Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, gọi $\Large (P)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, gọi $\Large (P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Large d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z}{-2}$ và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\Large (P)$?

• A. E(-3;0;4)
• B. M(3;0;2)
• C. N(-1;-2;-1)
• D. F(1;2;1)

Đường thẳng d qua điểm M(1;-2;0), có vecto chỉ phương $\Large \overrightarrow{a}=(1;-1;-2)$ và trục Oy có vecto chỉ phương $\Large \overrightarrow{j}=(0;1;0)$ 

Gọi $\Large \overrightarrow{n}=(A;B;C)(A^{2}+B^{2}+C^{2}\neq 0)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\Large (P)$

Vì $\Large d\subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0 \Leftrightarrow 1.A+(-1)B+(-2)C=0\Leftrightarrow A=B+2C\Leftrightarrow A=B+2C\Rightarrow \overrightarrow{n}=(B+2C;B;C)$

Gọi $\Large \varphi$ là góc gữa mặt phẳng $\Large (P)$ và trục $\Large Oy\left(0\leq \varphi \leq \dfrac{\pi}{2}\right)$

Ta có $\Large \sin\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{j}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{j}|}=\dfrac{|B|}{\sqrt{(B+2C)^{2}+B^{2}+C^{2}}}=\sqrt{\dfrac{B^{2}}{2B^{2}+4BC+5C^{2}}}$

$\Large =\sqrt{\dfrac{1}{2+4.\left(\dfrac{C}{B}\right)+5\left(\dfrac{C}{B}\right)^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{5\left(\dfrac{C}{B}+\dfrac{2}{5}\right)^{2}+\dfrac{6}{5}}} (B\neq 0)$

Vì hàm số $\Large \sin \varphi$ tăng liên tục trên $\Large \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ nên $\Large \varphi$ đạt giá trị lớn nhất khi $\Large \sin \varphi$ lớn nhất

Lúc đó $\Large 5\left(\dfrac{C}{B}+\dfrac{2}{5}\right)^{2}+\dfrac{6}{5}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\Large \dfrac{6}{5}$ khi và chỉ khi $\Large \dfrac{C}{B}+\dfrac{2}{5}=0$

Chọn $\Large B=5\Rightarrow C = -2;A=1\Rightarrow \overrightarrow{n}=(1;5;-2)$

Phương trình mặt phẳng $\Large (P)$ qua điểm M(1;-2;0), có vecto pháp tuyến $\Large \overrightarrow{n}=(1;5;-2)$ là $\Large 1(x-1)+5(y+2)-2(z-0)=0\Leftrightarrow x+5y-2z+9=0$

Thế tọa độ $\Large N(-1;-2;-1)$ vào phương trình mặt phẳng $\Large (P): -1+5(-2)-2(-1)+9=0$ (luôn đúng)

Vậy điểm $\Large N(-1;-2;-1)$ thuộc mặt phẳng $\Large (P)$