Trong không gian cho hình thang cân $\Large ABCD$, $\Large AB// CD$, $

Trong không gian cho hình thang cân $\Large ABCD$, $\Large AB// CD$, $\Large AB=3a$, $\Large CD=6a$, đường cao $\Large MN=2a$ với $\Large  M$, $\Large N$ lần lượt là trung điểm của $\Large AB$ và $\Large CD$. Khi quay hình thang cân $\Large ABCD$ xung quanh trục đối xứng $\Large MN$ thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh
là

• A.

  $\Large 3,75\pi a^2$.

• B.

  $\Large 11,25\pi a^2$.

• C.

  $\Large 7,5\pi a^2$.

• D.

  $\Large 15\pi a^2$.

Gọi $\Large O$ là giao điểm của $\Large AD$ và $\Large BC$. Gọi $\Large (N)$ là hình nón cụt sinh ra khi quay hình thang cân $\Large ABCD$ xung quanh trục $\Large MN$, có diện tích xung quanh $\Large S_{xqN}$.

$\Large (N_1)$ là hình nón đỉnh $\Large O$, đáy là đường tròn đường kính $\Large AB$ và $\Large (N_2)$ là hình nón đỉnh $\Large O$, đáy là đường tròn đường kính $\Large CD$ (như hình vẽ), lần lượt có diện tích xung quanh là $\Large S_{xqN_{1}}$, $\Large S_{xqN_{2}}$.

Khi đó $\Large S_{xqN}=S_{xqN_{2}}-S_{xqN_{1}}$.

Ta có $\Large AM// DN\Rightarrow \dfrac{AM}{DN}=\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{1}{2}$. Suy ra $\Large ON=2MN=4a$.

$\Large \Delta OND$ vuông tại $\Large N\Rightarrow OD=\sqrt{ON^2+DN^2}=\sqrt{16a^2+9a^2}=5a$, $\Large OA=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{5a}{2}$.

$\Large \Rightarrow S_{xqN_{1}}=\pi .AM.OA=\pi .\dfrac{3a}{2}.\dfrac{5a}{2}=\dfrac{15\pi a^2}{4}$, $\Large S_{xqN_{2}}=\pi . DN.OD=\pi .3a.5a=15\pi a^2$.

Vậy $\Large S_{xqN}=S_{xqN_{2}}-S_{xqN_{1}}=15\pi a^2-\dfrac{15\pi a^2}{4}=\dfrac{45\pi a^2}{4}=11,25\pi a^2$.