Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $\Large m$ để bất phương trình

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $\Large m$ để bất phương trình $\Large \log_{2}(5^x+1).\log_{2}(2.5^x-2)\geq m$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\geq1$

• A.

  A. $\Large m\geq 6$

• B.

  B. $\Large m>6$

• C.

  C. $\Large m\leq 6$

• D.

  D. $\Large m<6$

Chọn C

BPT $\Large\Leftrightarrow  \log_{2}(5^x-1).\log_{2}\left[2(5^x-1)\right]\geq m\Leftrightarrow \log_{2}(5^x-1)\left[1+\log_{2}(5^x-1)\right]\geq m$

Đặt $\Large t=\log_{2}(5^x-1)$ do $\Large x\geq 1\Rightarrow t\in [2; +\infty) $ 

ta được $\Large t(1+t)\geq m \Leftrightarrow t^2+t\geq m \Leftrightarrow f(t)\geq m$

Xét hàm số $\Large f(t)=t^2+t, t\in [2; +\infty)$

$\Large f'(t)=2t+1>0$ với $\Large t\in [2; +\infty) $ nên hàm số đồng biến trên $\Large t\in [2; +\infty)$

$\Large \Rightarrow min f(t)=f(2)=6$

Do đó để BPT $ \Large \log_{2}(5^x-1).\log_{2}(2.5^x-2)\geq m$ nghiệm đúng với mọi $\Large x\geq 1$ thì $\Large m\leq min f(t)\Leftrightarrow m\leq 6$