Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình $\Large 4^{x-1}-

Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình $\Large 4^{x-1}-m(2^{x}+1) > 0$ có tập nghiệm là $\Large \mathbb{R}$.

• A. $\Large m\in(-\infty;0]$
• B. $\Large m\in(0;+\infty)$
• C. $\Large m\in(0;1)$
• D. $\Large m\in(-\infty;0)\cap (1;+\infty)$

Đặt $\Large 2^{x}=t(t > 0)$

Bất phương trình đã cho trở thành $\Large \dfrac{t^{2}}{4}-m(t+1) > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{t^{2}}{4(t+1)}(1)$ (do $\Large t > 0$ nên $\Large t+1 > 0)$

Xét hàm số $\Large f(x)=\dfrac{t^{2}}{4(t+1)}$ liên tục trên $\Large (0:+\infty)$

Ta có $\Large f'(t)=\dfrac{t^{2}+2t}{4(t+1)^{2}} > 0 \forall t > 0$

Suy ra hàm số $\Large y=f(t)$ liên tục, đồng biến trên $\Large (0;+\infty)$

Suy ra $\Large f(t) > f(0) =0\forall t > 0$

Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\Large \mathbb{R}\Leftrightarrow$ Bất phương trình (1) đúng vưới mọi $\Large t > 0\Leftrightarrow m \leq 0$

Vậy với $\Large m \leq 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán