Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $\Large m$ để phương t

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $\Large m$ để phương trình $\Large \log_{2}\left ( 5^{-x}+1 \right ).\log_{2}\left ( 2.5^{-x}+2 \right )=m $ có nghiệm thuộc khoảng $\Large (0; +\infty)$?

• A.

  A. $\Large \left ( -\dfrac{1}{4}; +\infty \right )$

• B.

  B. $\Large \left ( -\infty; -\dfrac{1}{4} \right )$

• C.

  C. $\Large (-\infty; 0)\cup (2; +\infty)$

• D.

  D. $\Large (0; 2)$

Chọn D

Phương trình đã cho $\Large \Leftrightarrow \log_{2}(5^{-x}+1).\log_{2}\left[2(5^{-x}+1)\right]=m\\\Large \Leftrightarrow \log_{2}(5^{-x}+1)\left[1+\log_{2}(5^{-x}+1)\right]=m$

Đặt $\Large t=\log_{2}(5^{-x}+1)$ với $\Large t'(x)=\dfrac{(5^{-x}+1)'}{(5^{-x}+1)\ln2}=\dfrac{-5^{-x}\ln5}{(5^{-x}+1)\ln2}<0$ nên hàm t(x) nghịch biến 

$\Large \Rightarrow m=t(t+1)=f(t)$

Với $\Large x\in (0; +\infty)$ thì $\Large \left\{\begin{align}&t>\log_{2}1=0\\&t<\log_{2}(5^0+1)=1\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow t\in (0; 1)$

Ta có $\Large f'(t)=2t+1>0, \forall t\in (0; 1)$

$\Large f(t)$ đồng biến trên $\Large (0; 1)$

Khi đó YCBT $\Large \Leftrightarrow f(0)