Tìm hình nón có thể tích tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r c

Tìm hình nón có thể tích tích nhỏ nhất ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước có thể tích bằng:

• A.

  A. $\large \dfrac{1}{6}\pi r^{3}$

• B.

  B. $\large \dfrac{8}{3}\pi r^{3}$

• C.

  C. $\large \dfrac{2}{3}\pi r^{3}$

• D.

  D. $\large \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

Xét mặt phẳng chứa trục của hình nón, mặt phẳng này cắt hình nón theo tam giác cân SAB và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường tròn bán kính r và hình tròn này nội tiếp tam giác cân SAB

Kí hiệu bán kính đáy hình nón là x, chiều cao hình nón là y (x > 0, y > 2r) thì $\large (AH+SA)r = \dfrac{1}{2}AB.SH$ 

$\large \Leftrightarrow (x+\sqrt{x^{2}+y^{2}})r = xy \Leftrightarrow x^{2} = \dfrac{r^{2}y}{y-2r}$ 

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r là:

$\large V_{2} = \dfrac{1}{3}\pi x^{2}y = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}:\dfrac{y^{2}}{y-2r}$ 

Ta có: $\large \dfrac{y^{2}}{y-2r} = \dfrac{y^{2}-4r^{2}+4r^{2}}{y-2r} = y+2r+\dfrac{4r^{2}}{y-2r}$ 

$\large = y-2r+\dfrac{4r^{2}}{y-2r}+4r \geq 2\sqrt{(y-2r).\dfrac{4r^{2}}{y-2r}}+4r = 8r$ 

Từ đó $\large V_{2}\geq \dfrac{1}{3}\pi .8r^{3}$, tức là $\large V_{2}$ đạt giá trị bé nhất khi và chỉ khi $\large y-2r = \dfrac{4r^{2}}{y-2r} \Leftrightarrow y = 4r$ từ đó $\large x = r\sqrt{2}$.