Tìm hệ số của $\Large x^4$ trong khai triển $\Large P(x)=\left(1-x-3 x

Tìm hệ số của $\Large x^4$ trong khai triển $\Large P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $\Large C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2}$

• A. 210
• B. 840
• C. 480
• D. 270

Từ phương trình $\Large C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2} \rightarrow n=10$

Với $\Large n=10$, khi đó $\Large P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}$

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

$\Large P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}=\left[1-\left(x+3 x^{3}\right)\right]^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k}\left(x+3 x^{3}\right)^{k}$

$\Large =\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k} x^{k}\left(1+3 x^{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \sum_{l=0}^{k} C_{k}^{l}(-1)^{k} 3^{l} x^{k+2 l}$

Số hạng chứa $\Large x^4$ trong khai triển tương ứng với $\Large \left\{\begin{array}{l}
k+2 l=4 \\
0 \leq k \leq 10 \\
0 \leq l \leq k
\end{array} \Leftrightarrow(k ; l)=\{(4 ; 0),(2 ; 1)\}\right.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $\Lareg x^4$ trong khai triển là $\Large C_{10}^{4} C_{4}^{0}+C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3=480$. Chọn C