Tìm giới hạn $\Large B=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\dfrac{\sqrt[n]{1

Tìm giới hạn $\Large B=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\dfrac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}$ $\Large (n\in \mathbb{N^*}, a\neq 0)$:

• A.

  $\Large +\infty$.

• B.

  $\Large -\infty$.

• C.

  $\Large \dfrac{a}{n}$.

• D.

  $\Large 1-\dfrac{n}{a}$.

Chọn C.

Cách 1: Nhân liên hợp

Ta có:

$\Large B=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\dfrac{\left(\sqrt[n]{1+ax}-1\right)\left(\sqrt[n]{(1+ax)^{n-1}}+...+\sqrt[n]{1+ax}+1\right)}{x\left(\sqrt[n]{(1+ax)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+ax)^{n-2}}+...+\sqrt[n]{x+ax}+1 \right)}$

$\Large B=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\dfrac{a}{\left(\sqrt[n]{(1+ax)^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+ax)^{n-2}}+...+\sqrt[n]{x+ax}+1 \right)}=\dfrac{a}{n}$.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Đặt $\Large t=\sqrt[n]{1+ax}$ $\Large \Rightarrow x=\dfrac{t^n-1}{a}$ và $\Large x\rightarrow 0$ $\Large \Leftrightarrow t\rightarrow 1$

$\Large \Rightarrow B=a\underset{t\rightarrow 1}{lim}\dfrac{t-1}{t^n-1}$ $\Large =\underset{t\rightarrow 1}{lim}\dfrac{t-1}{(t-1)(t^{n-1}+t^n+...+t+1)}=\dfrac{a}{n}$.