Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $\Large m$ để phương trình s

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $\Large m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: $\Large x^4-10x^2+2m^2+7m=0$, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

• A.

  $\Large -\dfrac{343}{8}$.

• B.

  $\Large \dfrac{721}{8}$.

• C.

  $\Large -\dfrac{721}{8}$.

• D.

  $\Large \dfrac{343}{8}$.

Chọn C.

Đặt $\Large t=x^2$ $\Large (t\geq 0)$. Khi đó ta có phương trình: $\Large t^2-10t+2m^2+7m=0$ (*).

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 5^2-(2m^2+7m) > 0 \\ & 2m^2+7m > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow 0 < 2m^2+7m < 25$.

(do tổng hai nghiệm bằng $\Large 10 > 0$ nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì (*) có hai nghiệm dương phân biệt là $\Large t_1, t_2$ $\Large (t_1 < t_2)$.

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là $\Large -\sqrt{t_2}; -\sqrt{t_1}; \sqrt{t_1}; \sqrt{t_2}$.

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

$\Large -\sqrt{t_1}-\left(-\sqrt{t_2}\right)$ $\Large =\sqrt{t_1}-\left(-\sqrt{t_1}\right)$ $\Large =\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}$ $\Large \Leftrightarrow t_2=9t_1$.

Theo định lý Vi-ét ta có: $\Large t_1+t_2=10$; $\Large t_1.t_2=2m^2+7m$.

Suy ra ta có hệ phương trình: $\Large \left\{\begin{align} & t_2=9t_1 \\ & t_1+t_2=10 \\ & t_1.t_2=2m^2+7m \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & t_1=1 \\ & t_2=9 \\ & 2m^2+7m=9 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & m=1 \\ & m=-\dfrac{9}{2} \end{align}\right.$.

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó $\Large 1^3+\left(\dfrac{-9}{2}\right)^3=-\dfrac{721}{8}$.