Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bở

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\Large y=x{{e}^{x}}$ , trục hoành và hai đường thẳng $\Large x=0,x=2$ quanh trục hoành bằng $\Large \pi (a{{e}^{4}}+b)$ . Giá trị $\Large a+b$ là

• A.

  $\Large \dfrac{1}{2}$

• B.

  $\Large \dfrac{3}{2}$

• C.

  $\Large 1$

• D.

  $\Large 2$

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: $\large V=\pi \int_0^2 x^2e^2dx=\pi.I$

Đặt: $\large \left\{\begin{align}& u=x^2\\& dv=e^{2x}dx\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow\left\{\begin{align}& du=2xdx\\& v=\dfrac{e^{2x}}{2}\\\end{align}\right.$. Ta có: $\large I=\left.\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}\right)\right|^2_0-\int_0^2xe^{2x}dx=\left.\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x}\right)\right|_0^2-I_1 $

Tính $\large I_1$

Đặt $\large \left\{\begin{align}& u=x\\& dv=e^{2x}dx\\\end{align}\right.$ $\large \Rightarrow\left\{\begin{align}& du=dx\\& v=\dfrac{e^{2x}}{2}\\\end{align}\right.$. Do đó: $\large I_1=\left.\dfrac{x.e^{2x}}{2}\right|_0^2-\dfrac{1}{2}\int_0^2e^{2x}dx$

Ta có: 

$\large \begin{align}& I=\left.\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x} \right )\right|_0^2-\left.\left(\dfrac{1}{2}xe^{2x} \right )\right|_0^2+\dfrac{1}{2}\int_0^2 e^{2x}dx\\&
=\left.\left(\dfrac{1}{2}x^2e^{2x} \right )\right|_0^2-\left.\left(\dfrac{1}{2}xe^{2x} \right )\right|_0^2+\left.\left(\dfrac{1}{4}e^{2x} \right )\right|_0^2\\&
=2e^4-e^4+\dfrac{1}{4}e^4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}e^4-\dfrac{1}{4}\end{align}$

Do đó: $\large V=\pi\left(\dfrac{5}{4}e^4-\dfrac{1}{4}\right)\Rightarrow a=\dfrac{5}{4},\, b=-\dfrac{1}{4}\Rightarrow a+b=1$

Chọn đáp án C