Tam giác $\large ABC$ có hai trung tuyến $\large AM$ và $\large BN$ vu

Tam giác $\large ABC$ có hai trung tuyến $\large AM$ và $\large BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $\large AM$ và $\large BN$.

 

• A. $\large {{S}_{ABC}}=AM.BN$
• B. $\large {{S}_{ABC}}=\dfrac{3}{2}AM.BN$
• C. $\large {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AM.BN$
• D. $\large {{S}_{ABC}}=\dfrac{2}{3}AM.BN$

Ta có $\large ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $\large AM$ và $\large BN$ vuông góc nên có diện tích là: $\large {{S}_{ABMN}}=\dfrac{1}{2}AB.MN$

Xét tam giác $\large \Delta ABC$ và $\large \Delta CNM$ có:

 $\large \widehat{C}$ chung

 $\large \dfrac{CN}{CA}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{1}{2}$

 $\large \Rightarrow \Delta CAB\backsim \Delta CNM\left( c.g.c \right)$ theo tỉ số đồng dạng $\large k=\dfrac{1}{2}$

 $\large \begin{align}  & \Rightarrow \dfrac{{{S}_{CNM}}}{{{S}_{CAB}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4} \\  & \Rightarrow \dfrac{{{S}_{ABMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{{{S}_{ABC}}-{{S}_{CNM}}}{{{S}_{ABC}}}=\dfrac{3}{4} \\  & \Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{4}{3}{{S}_{ABMN}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}AB.MN=\dfrac{2}{3}AB.MN \\ \end{align}$