Cho hình chữ nhật $\large ABCD$ có $\large E$ là trung điểm của $\larg

Cho hình chữ nhật $\large ABCD$ có $\large E$ là trung điểm của $\large AB$. Tia $\large DE$ cắt $\large AC$ ở $\large F$, cắt $\large CB$ ở $\large G.$ Chọn câu đúng.

• A.  A. $\large F{{D}^{2}}=FE.FG$
• B. B. $\large 2FD=FE.FG$
• C. C.  $\large FD.FE=F{{G}^{2}}$
• D. D. Cả A, B. C đều sai.

Ta có$AB//CD$ (vì $\large ABCD$ là hình chữ nhật)

Áp dụng định lý Talet ta có: $\large \dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AE}{DC}$

Vì $\large E$ là trung điểm của $\large AB$ nên

  $\large \begin{align}  & AE=EB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD \\  & \Rightarrow \dfrac{EF}{FD}=\dfrac{AE}{DC}=\dfrac{1}{2}\text{ }\left( 1 \right) \\  & \Rightarrow FD=2EF \\ \end{align}$

Xét 2 tam giác vuông $\large \Delta AED$ và $\large \Delta BEG$ ta có:

 $\large \begin{align}  & \widehat{DAE}=\widehat{GBE}={{90}^{0}} \\  & AE=EB\left( gt \right) \\  & \widehat{AED}=\widehat{BEG} \\ \end{align}$

$\large \begin{align}  & \Rightarrow \Delta AED=\Delta BEG\left( g.c.g \right) \\  & \Rightarrow ED=EG \\ \end{align}$

Ta thấy:

 $\large \begin{align}  \dfrac{FD}{FG}&=\dfrac{2EF}{FE+EG}=\dfrac{2EF}{EF+ED} \\  & =\dfrac{2EF}{EF+EF+FD}=\dfrac{2EF}{EF+EF+2EF} \\  & =\dfrac{2EF}{4EF}=\dfrac{1}{2}\text{ }\left( 2 \right) \\ \end{align}$

Từ $\large \left( 1 \right)$ và $\large \left( 2 \right)$ ta có:

 $\large \dfrac{EF}{FD}=\dfrac{FD}{FG}\Leftrightarrow F{{D}^{2}}=EF.FG$