Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hàng tháng. L

Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hàng tháng. Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng. Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng. Cứ sau mỗi tháng người đó gửi nhiều hơn số tiền đã gửi tháng trước đó là 200.000 đồng. Hỏi sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

• A. 618051620 đồng.
• B. 484692514 đồng.
• C. 597618514 đồng.
• D. 539447312 đồng.

Đặt $\Large \left\{\begin{align} & u_1=2000000 \\ & d=200000 \\ & q=1+0,0055 \end{align}\right.$. Gọi $\Large M_k$ là số tiền người đó có được sau $\Large k$ tháng gửi tiền $\Large k=1, 2, 3,..., 60$.

Ta có 

$\Large M_1=u_1.q$

$\Large M_2=(M_1+u_1+d)q$$\Large =u_1q^2+u_1q+dq$

$\Large M_3=(M_2+u_1+2d)q$$\Large =u_1q^3+u_1q^2+u_1q+dq^2+2dq$

$\Large M_4=(M_3+u_1+3d)q$$\Large =u_1q^4+u_1q^3+u_1q^2+u_1q+dq^3+2dq^2+3dq$

..............

$\Large M_{60}=u_1q(q^{59}+...+q^2+q+1)+dq(q^{58}+2q^{57}+...+58q+59)$.

Ta có $\Large q^{59}+...+q^2+q+1=\dfrac{1-q^{60}}{1-q}$.

Xét hàm số $\Large f(x)=1+x+x^2+...+x^{58}+x^{59}=\dfrac{1-x^{60}}{1-x}$.

Ta có $\Large f'(x)=1+2x+...+58x^{57}+59x^{58}$ hay $\Large f'(x)=\dfrac{59x^{60}-60x^{59}+1}{(x-1)^2}$.

Từ đó $\Large 1+2x+...+58x^{57}+59x^{58}=\dfrac{59x^{60}-60x^{59}+1}{(x-1)^2}$.

Thay $\Large x=\dfrac{1}{q}$ ta được

$\Large q^{58}+2q^{57}+...+58q+59=\dfrac{59-60q+q^{60}}{(1-q)^2}$.

Vậy $\Large M_{60}=u_1.q.\dfrac{1-q^{60}}{1-q}+dq.\dfrac{59-60q+q^{60}}{(1-q)^2}=53944312$ đồng.

Chọn đáp án D.