Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách $\Large 300

Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách $\Large 300km,$ vận tốc của dòng nước là $\Large 6 (km/h).$ Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước yên lặng là $\Large v (km/h).$ Năng lượng tiêu hao của cá trong $\Large t$ giờ được tính theo công thức $\Large E = cv^{3}t,$ $\Large c$ là hằng số cho trước, đơn vị của $\Large E$ là Jun. Vận tốc $\Large v$ của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là:

• A.

  A. $\Large 8 (km/h).$

• B.

  B. $\Large 12 (km/h).$

• C.

  C. $\Large 10 (km/h).$

• D.

  D. $\Large 9 (km/h).$

Chọn D

Vận tốc dòng nước là $\Large 6 (km/h),$ khi con cá hồi bơi ngược dòng, vận tốc thực tế là $\Large v - 6 (km/h).$

Để vượt quãng đường $\Large 300 km,$ con cá hồi bơi với thời gian là $\Large t = \dfrac{300}{v - 6} (h).$

Năng lượng tiêu hao của nó là $\Large E = c v^{3} \dfrac{300}{v - 6} (J).$ Ta cần tìm $\Large v (v > 6)$ để $\Large E$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\Large E = c v^{3} \dfrac{300}{v - 6}$

$\Large \Leftrightarrow E = 300c . \dfrac{v^{3}}{v - 6}.$

Đặt $\Large A = \dfrac{v^{3}}{v - 6}$, ta có: $\Large E$ đạt GTNN khi $\Large A$ đạt GTNN.

$\Large A{}' = \dfrac{3v^{2}(v - 6)-v^{3}}{(v - 6)^{2}} = \dfrac{2v^{2}(v - 9)}{(v - 6)^{2}} = 0$

$\Large \Leftrightarrow 2v^{2}(v - 9) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}v = 0 (L)\\ v = 9 (TM)\end{array}\right.$

Dấu của $\Large A{}'$ là dấu của $\Large (v - 9)$, suy ra $\Large A$ đạt GTNN khi $\Large v = 9$, khi đó $\Large E$ cũng đạt GTNN.