Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $\large y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $\large y=(m^2-1)x^3+(m-1)x^2-x+4$ nghịch biến trên khoảng $\large (-\infty; +\infty)$

• A. A. 2
• B. B. 1
• C. C. 0
• D. D. 3

Chọn A

Ta có: $\large y'=3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\large (-\infty; +\infty)\Leftrightarrow y'\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

$\large \Leftrightarrow 3(m^2-1)x^2+2(m-1)x-1\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$

*TH1: $\large m^2-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$

    + Với $\large m=1$, ta được $\large -1\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$ (luôn đúng), suy ra: $\large m=1$ (nhận)

    + Với $\large m=-1$, ta được $\large 4x-1\leq 0\Leftrightarrow x\geq \dfrac{1}{4}$, suy ra $\large m=-1$ (loại)

* TH2: $\large m^2-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$

Ta có: $\large \Delta'=(m-1)^2+3(m^2-1)=m^2-2m+1+3m^2-3=4m^2-2m-2$

Để $\large y'\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}$ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& m^2-1<0\\& 4m^2-2m-2\leq 0\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& -1

Tổng hợp lại, ta có tất cả các giá trị m cần tìm là: $\large -\dfrac{1}{2}\leq m\leq 1$

Vì $\large m\in \mathbb{Z}$ suy ra $\large m\in\left\{0; 1\right\}$ nên có 2 giá trị nguyên của tham số m