Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho $\Large C_{14}^{k},

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho $\Large C_{14}^{k}, C_{14}^{k-1}, C_{14}^{k+2}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả phần tử của S

• A. 8
• B. 6
• C. 10
• D. 12

Chọn D

Ta có 

$\Large C_{14}^{k}+C_{14}^{k+2}=2 C_{14}^{k+1} \Leftrightarrow \dfrac{14 !}{k !(14-k) !}+\dfrac{14 !}{(k+2) !(12-k) !}=2 \dfrac{14 !}{(k+1) !(13-k) !}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{(14-k)(13-k)}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{2}{(k+1)(13-k)}$

$\Large \Leftrightarrow(k+1)(k+2)+(14-k)(13-k)=2(k+2)(14-k)$

$\Large \Leftrightarrow k^{2}-12 k+32=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
k=8 \\
k=4
\end{array}\right.$ 

Vậy chọn D