Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: $\Large A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n

Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn: $\Large A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)$

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3

Điều kiện xác định: $\Large n \geq 3, n \in \mathbb N$

Ta có phương trình

$\Large \dfrac{n !}{(n-3) !}+5 \cdot \dfrac{n !}{(n-2) !}=2 n+30$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{(n-3) !(n-2)(n-1) n}{(n-3) !}+\dfrac{5(n-2) !(n-1) n}{(n-2) !}-2 n-30=0$

$\Large \Leftrightarrow(n-2)(n-1) n+5(n-1) n-2 n-30=0$

$\Large \Leftrightarrow n^{3}-3 n^{2}+2 n+5 n^{2}-7 n-30=0$

$\Large \Leftrightarrow n^{3}+2 n^{2}-5 n-30=0$

$\Large \Leftrightarrow n=3$

Chỉ có duy nhất một giá trị của n.

Vậy ta chọn đáp án B