Cho số tự nhiên n thỏa mãn: $\Large A_{n}^{10}+A_{n}^{9}=9 A_{n}^{8}$.

Cho số tự nhiên n thỏa mãn: $\Large A_{n}^{10}+A_{n}^{9}=9 A_{n}^{8}$. Mệnh đề nào sau đây đúng:

• A. n là số nguyên tố
• B. n là số chẵn
• C. n là hợp số
• D. n là số chính phương

Điều kiện xác định: $\Large n \geq 10 ; n \in \mathbb N$

Ta có phương trình

$\Large \begin{array}{l}
\Leftrightarrow\dfrac{n !}{(n-10) !}+\dfrac{n !}{(n-9) !}=9 \cdot \dfrac{n !}{(n-8) !} \\
\Leftrightarrow\dfrac{1}{(n-10) !}+\dfrac{1}{(n-9) !}=9 \cdot \dfrac{1}{(n-8) !} \\
\Leftrightarrow\dfrac{1}{(n-10) !}+\dfrac{1}{(n-10) !(n-9)}=9 \cdot \dfrac{1}{(n-10) !(n-9)(n-8)}
\end{array}$

$\Large \begin{array}{l}
\Leftrightarrow\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{n-9}=9.\dfrac{1}{(n-9)(n-8)} \\
\Leftrightarrow(n-9)(n-8)+n-8=9 \\
\Leftrightarrow n^{2}-16 n+55=0 \\
\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
n=5(\text{loại}) \\
n=11(\text { thỏa mãn })
\end{array}\right.
\end{array}$

Ta thấy giá trị 11 là một só nguyên tố. Vậy chọn đáp án A