Biết tổng các hệ số trogn khai triển nhị thức Newton của $\Large (5 x-

Biết tổng các hệ số trogn khai triển nhị thức Newton của $\Large (5 x-1)^{n}$ bằng $\Large 2^{100}$. Tìm hệ số của $\Large x^3$

• A. -161700
• B. -19600
• C. -2450000
• D. -20212500

Phương pháp: Sử dụng công thức khai triển nhị thức $\Large (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$

Ta có $\Large (5 x-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(5 x)^{k}(-1)^{n-k}$

Chọn $\Large x=1$ ta được tổng các hệ số của khai triển

$\Large \begin{array}{l}
(5 \cdot 1-1)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 5^{k}(-1)^{n-k}=2^{100} \\
\Leftrightarrow 2^{100}=4^{n} \Leftrightarrow 2^{100}=2^{2 n} \Leftrightarrow 2 n=100 \Leftrightarrow n=50 .
\end{array}$

Vậy hệ số của $\Large x^3$ trong khai triển là: $\Large C_{50}^{3} \cdot 5^{3} \cdot(-1)^{50-3}=-C_{50}^{3} \cdot 5^{3}=-2450000$

Chọn đáp án C