Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số, sao cho trong mỗi số chỉ có mặt

Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số, sao cho trong mỗi số chỉ có mặt hai chữ số 0 và 1, đồng thời số chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đó luôn là một số lẻ?

• A.

  $\Large 2^{27}.$

• B.

  $\Large 2^{29}.$

• C.

  $\Large 2^{28}.$

• D.

  $\Large 3.2^{27}.$

Chọn C

Giả sử số cần lập có dạng $\Large \overline{a_1a_2...a_{30}}$, với $\Large a_i \in \begin{Bmatrix} 0; 1 \end{Bmatrix}, i =1, 2,...,30$ và $\Large a_1=1$.

Do $\Large a_1=1$ nên số chữ số trong 29 số còn lại phải là một số chẵn.

Gọi k là số chữ số 1 trong 29 số còn lại thì bài toán trở thành đếm số cách sắp xếp k chữ số 1 này vào 29 vị trí nên có $\Large C_{29}^k$ cách.

Vậy có $\Large S=C_{29}^0+C_{29}^2+...+C_{29}^{28}$ số thỏa mãn.

Đặt $\Large T=C_{29}^1+C_{29}^3+...+C_{29}^{29}$ thì $\Large \left\{\begin{align} & S+T=C_{29}^0+C_{29}^1+...+C_{29}^{29}=2^{29} \\ & S-T=C_{29}^0-C_{29}^1+...-C_{29}^{29}=(1-1)^{29}=0 \end{align}\right.$ nên $\Large S=T=2^{28}$.