Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\Large AB=3a,

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $\Large AB=3a, BC=4a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và đáy bằng $\Large 60^{\circ}$. Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM.

• A.

  $\Large a\sqrt{3}.$

• B.

  $\Large \dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}.$

• C.

  $\Large \dfrac{5a}{2}.$

• D.

  $\Large 5a\sqrt{3}.$

Chọn B

Ta có: $\Large \left ( SC,(ABC) \right )=\widehat{SCA}=60^{0}\Rightarrow AC=5a, SA=5a\sqrt{3}$.

Gọi N là trung điểm BC $\Large \Rightarrow AB // (SMN) \Rightarrow d(AB, SM)=d\big(A, (SMN)\big)$.

Dựng $\Large AH\perp MN$ tại H trong (ABC).

Dựng $\Large AK \perp SH$ tại K trong (SAH).

$\Large \Rightarrow AK \perp (SMN)$ tại K nên $\Large d\big(A, (SMN)\big)=AK \Rightarrow d[AB, SM]=AK$.

$\Large AH=NB=2a$.

$\Large \dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{SA^2}=\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{1}{75a^2}=\dfrac{79}{300a^2} \Rightarrow AK=\dfrac{10a\sqrt{3}}{\sqrt{79}}$.